随机过程课后习题解析：几何分布、特征函数与正态分布

"随机过程课后习题.pdf" 在这些习题中，涉及了概率论与数理统计中的多个核心概念，尤其是随机变量的性质、分布及其特征函数的应用。特征函数是理解随机变量的重要工具，它能唯一确定一个连续分布。下面我们将详细探讨这些题目中的知识点： 1. 几何分布的特征函数、期望与方差： 几何分布描述了连续独立伯努利试验直至第一次成功的次数。其概率质量函数为P(X=k)=pq^k，k=0,1,2,...，其中0<p<1，q=1-p。特征函数φ_X(t)可以通过计算E(e^(itX))得到。对于期望EX和方差DX，有EX=1/p，DX=(1-p)/p^2。 2. Γ分布的特征函数、期望与方差，以及参数p的可加性： Γ(p,b)分布的特征函数可以通过积分计算得出，其期望EX=b*p和方差DX=b^2*p。对于相同b的不同Γ(p,b)分布，它们的和仍服从Γ(p1+p2,b)分布，展示出参数p的可加性。 3. 分布函数变换的特征函数： 随机变量Y=aF(X)+b的特征函数可通过F(X)的原函数性质推导，而Z=lnF(X)的特征函数则更复杂，需要利用F(X)的单调性。E(Z^k)可通过多次应用Itô's lemma计算。 4. 相互独立几何分布随机变量的和的分布： X_1, X_2, ..., X_n的和X的分布可以通过直接求和其特征函数得到，结果是一个新的几何分布。 5. 求特定函数f(t)的特征函数及其对应分布： 函数f(t)=jt/(1-e^(-jt))的特征函数对应于泊松分布，其参数λ=1。 6. 求特定函数f(t)的特征函数及其对应分布： f(t)=1/(1+t^2)的特征函数对应于标准正态分布N(0,1)。 7. 正态分布的随机向量： 当X_1, X_2, ..., X_n相互独立且同服从N(a,σ^2)时，其n维随机向量的联合概率密度函数可通过多变量高斯分布公式给出，均值向量为[n*a]，协方差矩阵是对角线元素为σ^2的n阶方阵。X的均值是所有X_i的平均值。 8. 二项分布与Γ分布随机变量之和的分布： 独立的二项分布X和Γ分布Y的和的分布可以通过计算它们特征函数的卷积来确定。 9. 二维概率密度函数的特征函数： 给定二维概率密度函数，特征函数可以通过双变量Fourier变换计算得到。 10. 四维正态分布的期望： 四维随机向量(X_1, X_2, X_3, X_4)的期望是零向量，因为其均值向量为0，而协方差矩阵B的元素决定了各个随机变量之间的相关性。 11. 正态分布随机变量线性组合的特征函数： 随机向量(Y_1, Y_2)= (X_1+X_2, X_1+X_3)的特征函数可以通过正态分布的线性组合特性推导，结合两变量的联合特征函数来计算。 12. 多元正态分布的特征函数与随机向量的线性变换： 随机向量(X_1, X_2, X_3)和(S_1, S_2, S_3)的特征函数可以通过正态分布的性质以及线性变换的规则推导，S_i是X_i的线性组合，且X_i服从共方差为σ^2的正态分布。 以上是随机过程课后习题中涉及的主要知识点，它们涵盖了随机变量的分布、特征函数、期望与方差的计算，以及不同分布之间的关系和性质。通过解决这些问题，可以深入理解概率论和随机过程的基本概念。