一维Euler方程的对称分析与常微分方程约化

"一维Euler方程的对称和约化——吴薇，刘希强 (聊城大学数学科学学院，山东，聊城252059) - 井冈山大学学报(自然科学版)，2012年，文章编号1674-8085(2012)01-0006-04" 在数学物理领域，求解非线性偏微分方程组是核心挑战之一。一维Euler方程是一组描述理想流体运动的重要模型，广泛应用于气体动力学和流体力学等领域。该方程组包括质量方程和动量方程，它们分别是： 1. 质量方程：\( \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} = 0 \) 2. 动量方程：\( \rho \left(\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x}\right) = - \frac{\partial p}{\partial x} \) 这里，\( \rho \) 表示密度，\( u \) 是速度，\( p \) 是压强，\( t \) 和 \( x \) 分别是时间与空间坐标。 论文“一维Euler方程的对称和约化”采用了一种名为李群直接对称方法来探讨该方程组的对称性。李群理论在处理物理方程时扮演着关键角色，因为它能揭示方程内在的结构和不变性。李对称是这种理论中的基础概念，它允许我们将复杂的物理系统简化，从而可能简化方程的求解。 通过李群直接对称方法，作者吴薇和刘希强首先找出一维Euler方程的对称性，这些对称性可能是平移、旋转、缩放或其他更复杂的变换。一旦找到了这些对称，就可以进一步利用它们来构造李群不变量。李群不变量是受方程对称性保护的量，它们在变换下保持不变，对于理解和简化方程至关重要。 在获得了李群不变量后，研究人员能够将原本的一维Euler方程组约化成一组常微分方程（ODEs）。这是一个重要的步骤，因为常微分方程通常比偏微分方程更容易求解。这样的相似约化可以极大地降低问题的复杂性，并可能提供解析解或数值解的有效途径。 该论文的工作不仅展示了李群理论在解决非线性问题上的应用，也为实际工程问题的数值模拟提供了理论支持。通过这种方法，物理学家和工程师能够更好地理解理想流体的行为，以及如何在特定对称性条件下简化计算。 这篇2012年的研究工作深入探讨了一维Euler方程的对称性，利用李群理论将其约化为更易处理的形式，对于理解和求解这类复杂非线性方程具有重要的理论价值和实践意义。