非线性最小二乘问题求解策略与线性化应用

非线性最小二乘问题是一种优化技术，主要用于处理在实际问题中函数关系非线性的拟合问题。其基本思想是通过将非线性函数在某一点附近进行线性化，然后将其转化为一系列线性最小二乘问题来逐步逼近原问题的解。 一、最小二乘问题概述 最小二乘问题的核心是寻找一组参数，使得这些参数对应的函数值与给定数据之间的误差平方和最小。线性最小二乘问题（6.5.1）表现为一个线性系统，其中函数项()i(fxi)m= 是线性函数，可以通过矩阵运算简化为求解一个法方程组（6.5.2），当A矩阵的列向量线性无关时，全局最优解可通过求逆矩阵得出。 二、线性最小二乘问题的解法 对于线性最小二乘，关键在于求解矩阵方程AAx = Ab，这里的A和b分别为设计矩阵和目标函数值。通过求解这个方程，得到最优解x满足梯度为零，即AAxAb = 0，这也是线性最小二乘问题的标准形式。 三、非线性最小二乘问题的处理 非线性最小二乘问题相较于线性问题更为复杂，因为函数关系是非线性的。解决策略是迭代方法，即在每次迭代中，首先选择当前估计解x(k)，然后在该点附近对函数fi(x)进行泰勒级数展开，将其近似为一个线性函数。接着，将问题转换为一个新的线性最小二乘问题，通过求解得到下一个近似解x(k+1)。这个过程不断重复，直至满足预设的迭代终止准则，比如达到一定的迭代次数或误差阈值。 1. 线性化步骤： - 在点x(k)处，利用泰勒公式将fi(x)近似为一阶泰勒展开，得到一个关于x(k)的一阶线性近似φ(x)。 - 然后，目标是找到使误差函数φ(x)减小的步长，这通常涉及到求解∇fi(x(k))的逆，即梯度的负值。 2. 线性最小二乘问题的求解： - 通过线性化后的函数φ(x)，构建新的线性最小二乘问题，即寻找使得φ(x)平方和最小的x值。 - 解决这个线性问题得到新的估计解x(k+1)，然后用它作为下一轮迭代的起点。 非线性最小二乘问题通过将非线性问题分解为一系列线性子问题，并逐步逼近真实解，是解决实际工程中诸如信号处理、数据拟合、物理模型参数估计等非线性问题的有效工具。通过迭代方法，可以找到问题的局部最优解，虽然可能不是全局最优，但在许多情况下已能满足实际需求。