线性规划与单纯形法详解：寻找最优解的算法

"本文主要介绍了线性规划中的单纯形法，这是一种解决线性优化问题的常用方法。线性规划涉及的目标函数和约束条件都是线性的，它的历史可以追溯到1940年代，由George Dantzig发明的单纯形法在解决这类问题上发挥了重要作用。" 线性规划是一种优化技术，其目标是最大化或最小化一个线性函数，同时满足一系列线性等式或不等式的约束。这个领域有着悠久的历史，涉及众多数学家的工作，如Euler、Liebnitz、Lagrange以及20世纪的George Dantzig等人。单纯形法是Dantzig在1947年提出的一种求解线性规划的有效算法，至今仍然广泛使用。 单纯形法适用于标准形的线性规划问题，即目标是最小化，约束是等式，并且变量是非负的。初始阶段，需要找到一个基本可行解（BFS），这是满足所有约束的基本解，且所有变量都非负。一个标准形的线性规划问题可以通过添加松弛变量和自由变量转化为等式约束的形式。 算法的核心在于迭代过程，从一个基本可行解开始，通过迭代移动到相邻的基本可行解，直至找到最优解或者判断问题无解或无界。在每次迭代中，会选择一个负的检验数（代表目标函数可以改善的方向）对应的非基变量进入基，同时选择一个正的检验数对应的基变量退出基，以保持基本解的可行性。 判断准则通常包括最优性和无界性的检查。如果所有非基变量的检验数都不小于零，那么当前基本可行解就是最优解。如果存在一个非基变量的检验数为负，且对应的约束是等式，那么问题可能无界。 线性规划的应用广泛，包括但不限于食谱规划、运输问题、数据包络分析、网络流问题和博弈论等领域。此外，随着计算技术的发展，出现了其他有效的求解线性规划的方法，如内点法，特别是原-对偶内点法，对于大规模和退化问题的处理更胜一筹。 线性规划的基本定理确保了问题的可行性与最优性。定理表明，如果存在可行解，那么一定存在一个基本可行解，而且最优解必定在这些基本可行解中。这一定理为单纯形法提供了理论基础，使得该算法在实践中得以广泛应用。