模拟退火算法：从物理原理到程序实现

"模拟退火算法是一种启发式搜索算法，起源于固体物质退火过程的模拟，用于解决组合优化问题。该算法通过引入随机性，能够在局部最优解之外寻找全局最优解，尤其适用于解决旅行商问题(TSP)等复杂优化问题。" 模拟退火算法的核心思想源于物理学中的退火过程，包括三个阶段：升温、等温和冷却。在升温过程中，系统的粒子运动增强，以消除非均匀状态。等温阶段，系统在恒定温度下自发变化，使得系统趋向于自由能最低的状态。冷却阶段，系统逐渐有序，能量下降，最终得到低能状态。这一过程在算法中被用来指导解的探索和接受。 Metropolis准则在算法中起到关键作用。它规定了如何根据当前状态和新状态的能量差来决定是否接受新状态。如果新状态的能量低于当前状态，那么新状态会被无条件接受。如果新状态的能量高于当前状态，算法将以一定的概率e^(-ΔE/(kT))接受新状态，其中ΔE是能量差，k是波尔兹曼常数，T是当前温度。这个概率使得在高温时更容易接受新状态，而在低温时更倾向于保持当前状态。 模拟退火算法的具体步骤如下： 1. 初始化：生成随机初始解x0，计算其目标函数值f(x0)，设置初始温度T(0)。 2. 扰动生成新解：产生一个新的解xnew及其目标函数值f(xnew)。 3. 计算目标函数值的增量Δf。 4. 如果Δf小于0，更新最优解xbest为xnew。 5. 如果Δf大于0，依据Metropolis准则以一定概率接受新解。 6. 对当前温度降温，并重复步骤2-5指定次数。 7. 当满足终止条件时，输出当前解作为最优解，算法结束。 模拟退火算法的一个显著特点是它对所有可能解的无偏性，即算法的最终结果并不依赖于初始解的选择。此外，通过控制温度的衰减策略，可以在保证找到全局最优解可能性的同时，避免陷入局部最优解。 这种算法广泛应用于解决诸如旅行商问题、图着色问题、作业调度等复杂优化问题。通过调整算法参数，如初始温度To、降温速率和迭代次数，可以适应不同问题的需求，以达到最佳的求解效果。