马尔科夫链蒙特卡洛方法介绍

"该资源是一份关于Markov Chain Monte Carlo (MCMC)的幻灯片介绍，由Iain Murray制作。内容涵盖了蒙特卡洛基础、MCMC的定义、Gibbs采样和Metropolis-Hastings算法。通过线性回归的例子展示了在先验和后验概率中的变化，并提出了模型不匹配的问题以及相关的思考题。" MCMC（Markov Chain Monte Carlo）是一种统计抽样方法，用于在高维复杂概率分布中进行采样，尤其在贝叶斯统计中应用广泛。其基本思想是构建一个马尔科夫链，使得该链的平稳分布就是我们想要抽样的目标分布。通过长时间运行这个链，我们可以得到目标分布的样本，进而了解分布的性质。 蒙特卡洛基础是指利用随机抽样或统计试验来解决计算问题的方法。在1940年代，物理学家恩里科·费米利用这种方法在失眠时进行实验预测，展示了其在统计计算中的威力。 MCMC中的Gibbs采样和Metropolis-Hastings算法是两种常用的构建马尔科夫链的策略。Gibbs采样允许我们在每次迭代时逐个更新参数，而保持其他参数不变，从而构建出一个马尔科夫链。Metropolis-Hastings算法则更为通用，它允许我们提出参数的任意更新，并通过接受/拒绝准则来确保链的平稳性。 线性回归的例子展示了先验概率和后验概率的区别。先验概率反映了在观察数据之前对模型参数的信念，通常比较分散。当观察到数据后，后验概率会根据观测到的数据对参数进行更新，形成更集中的分布。在本例中，后验概率的形状变得更加紧凑，表明数据对参数的估计有很强的影响。 线性回归的非线性误差包络示例提示可能存在模型不匹配的问题。即使我们假设了一个线性模型，实际数据可能并不完全遵循这个模型，导致模型预测与真实值之间存在非线性误差。这强调了选择合适模型的重要性。 最后，提供的小测验询问在错误地假设线性关系的情况下，典型的后验分布表现是什么。这鼓励学习者思考贝叶斯线性回归如何处理模型不匹配的情况，以及它可能会给出哪些解释，比如可能是数据中的非线性模式或者模型结构过于简单。 这份MCMC幻灯片深入浅出地介绍了MCMC的基本概念、关键算法以及在实际问题中的应用，对于理解和掌握MCMC方法具有很高的价值。