概率论期末模拟题：随机变量收敛与分布问题详解

本资源是一份2019年秋季概率论与数理统计期末模拟题，涉及多个概率论中的核心概念和定理。以下是对各个题目知识点的详细解析： 1. 随机变量序列的收敛性： a) 题目要求分析一列随机变量Xn，其在n趋于无穷时是否依概率收敛。提示考生考虑随机变量的定义，即序列是否在几乎处处收敛或者概率上收敛。 b) Xn表示连续抛n次硬币中出现特定模式（三个正面接着三个反面）的次数，马尔可夫大数定律将被用来判断其是否依概率收敛，并确定可能的极限。 c) 对于柯西分布和Yn的分析，需要理解变量变换下收敛性质的变化，以及考虑分布收敛的定义。 d) 伽玛分布和Yn的收敛性，涉及分布函数的极限行为，以及中心极限定理的应用。 e) 卡方分布和Yn的分布收敛，特征函数在这里起到关键作用。 2. 柏松分布与概率收敛： f) 柏松分布的随机变量序列Yn的分析，需要根据定义来判断概率收敛，即观察变量的均值与方差的关系。 3. 分段函数的收敛： g) 对于[0,1]上均匀分布的Yn，考察的是分段函数的极限性质，提示依赖于概率收敛的定义。 4. 方差一致有界性和马尔可夫大数定律： h) 题目中随机变量序列的协方差满足特定条件，利用马尔可夫大数定律来探讨均值的收敛性。 5. 中心极限定理与泰勒展开： i) 独立同分布随机变量序列的均值和方差分析，涉及到中心极限定理和泰勒展开在证明分布收敛中的应用。 6. 线性随机过程： j) 题目给出线性递推随机过程的定义，通过计算协方差和应用马尔可夫大数定律来研究收敛性。 7. 正态分布序列的和与均匀分布： k) 独立同分布随机变量平方和的均值和方差决定了Un是否服从均匀分布，通过计算特征函数来验证。 8. 正态分布的线性组合： l) 提供了两个标准正态分布序列的线性组合，Tn的分布收敛需根据t分布的定义及其性质来分析。 这些题目涵盖了概率论中的基本概念，如随机变量的收敛性、分布函数、特征函数、中心极限定理以及线性随机过程等，对于理解概率论的实际应用和理论基础具有重要作用。