郭志军教授2014应用随机过程讲义概览

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"2014年应用随机过程讲义是由郭志军教授编撰的一份教学资料，旨在为07数学与应用数学、07、08、09、10统计学专业的学生提供学习随机过程的基础课程。该讲义首次修订于2014年2月，强调其作为初步版本可能存在错误和遗漏，鼓励读者提出宝贵意见并提供了联系信息。课程内容分为三部分：第一篇介绍概率论基础，包括概率测度与概率空间、随机变量及其分布、数学期望与积分、条件数学期望、概率测度变换以及随机变量的收敛性。这一部分强调了概率论与测度论之间的紧密联系，以及如何通过基本事件的概率来计算复合事件的概率。第二篇随机过程（1）涵盖了随机过程的基本概念、数字特征，如泊松过程、更新过程、布朗运动，以及鞅的概念。这部分内容着重于随机过程的核心理论，并展示了其在金融和保险领域的应用，如Ito积分和鞅在金融衍生品定价中的作用。第三篇随机过程（2）扩展到了随机分析，探讨了Ito积分的进一步发展，包括简单和一般函数的积分、Ito-Doeblin公式、多元随机分析、风险中性测度，以及期权定价和跳过程的随机分析。这部分内容深入到金融随机分析领域，展示了随机过程在现代金融建模中的重要性。此外，讲义还推荐了几本重要的参考书籍，如严士健和刘秀芳的《测度与概率》，S.M.Ross的《应用随机过程》（中文版）、林元烈的《应用随机过程》和Shreve的《金融随机分析》（中文版），这些都是深入学习随机过程和随机分析的重要资源。这门讲义提供了一个系统的学习框架，将概率论和随机过程理论与实际应用紧密结合，对于理解随机过程在数学、金融和保险等领域的核心作用具有重要意义。"

【数学期望】设

()

是定义于

(

)

,,FPΩ

上的可积随机变量，称

() ()( )

EX E X X P d

ωω

==⎡⎤

⎣⎦

∫

为随机变量

(

)

的数学期望。

易见，事件

的概率

(

)

即其示性函数

(

)

的数学期望，

即：

() ()( )

(

)

(

)

EI I Pd Pd PA

ωωωω

===⎡⎤

⎣⎦

∫∫

。

二、积分变换定理

一般地，概率空间

(

)

,,FPΩ

上的积分理论是比较抽象的；

故我们常常通过积分变换将一般概率空间

(

)

,,FPΩ

上的积分

()( )

XPd

∫

转化为定义于其上的某个随机变量

()

诱导的概

率空间

()

上的积分

(

)

Pdx

∫

，从而使得问题得以简化；

这种转换的理论依据是

-域的封闭性和（概率）测度的可列

可加性！

【积分变换定理】设

(

)

为概率空间

(

)

,,FPΩ

上的随机变量，

()

是由

()

诱导的概率空间，

(

)

⋅

是

上的 Borel 函数，

则

∀∈ ，

()

(

)

()

(

)

(

)

XB B

gX Pd gxP dx

ωω

−

=⎡⎤

⎣⎦

∫∫

；若一方积分存在，

则另一方积分也存在，且二者相等！

简证：1）令

() ()

gx I x A

=∈

，易见

(

)

(

)()

AX X

BAB

xP dx P dx=

∫∫

(

)

(

)

(

)

(

)

()

(

)

(

)

()

(

)

(

)

()

111

X A

XB XB

PAB PX AB PX A X B I Pd I X Pd

ωωω

−

−−

−−−

⎡⎤⎡ ⎤

== = = =⎡⎤

⎣⎦

⎣⎦⎣ ⎦

∫∫

，即等式对示性函数成立！2）若

(

)

⋅

为非负简单函数，即示

性函数的线性组合；由积分的线性性质易知等式亦成立！

3）若

()

g ⋅

为非负可测函数，则存在非负的单调递增的简

单函数列

(

)

{

}

gxn≥

，使得：

(

)

(

)

,lim

Rgxgx

→∞

∀∈ =

；从而，

()

{

}

gXn≥

也是单调递增的简单随机变量列，且

(

)()

,lim

gX gX

ωω

→∞

∀∈Ω =

⎡⎤⎡⎤

⎣⎦⎣⎦

。从而，上述等式也成立！

4）若

()

g ⋅

为一般可测函数，由

(

)

(

)

(

)

gx g x g x

+−

=−

知，上述等式

也成立！

在上述等式中，若取

(

)

(

)

,BRX B X R

−−

==Ω

，则有

() ( ) ()

(

)

gX Pd gxP dx

ωω

⎡⎤

⎣⎦

∫∫

，该公式十分有用，特别是在

()

⋅

的形式已知时，更是易于计算！

【例 1.3.1】设

()

是概率空间

(

)

,,FPΩ

上的随机变量，

()

是由

()

诱导的概率空间，

(

)

⋅

是

上的 Borel 函数，

（1）若

()

是离散型随机变量，且

{

}

(

)

,1,2,

PX x pi===L

；

则

() () ( )

(

)

(

)

(

)()

{}

EgX gX Pd gxP dx gxP dx

ωω

===

⎡⎤ ⎡⎤

⎣⎦ ⎣⎦

∫∫∫

() ( )

{}

()

(

)

{}

(

)

(

)

{}

(

)() ()

ii i

X iXiXiXiii

xx x

iiiii

xP dx gx P dx gx P dx gx P x gx p== = ==⋅

∑∑∑∑∑

∫∫ ∫

（2）若

()

是连续型随机变量，且

～

(

)

；则

( ) ( ) ( ) () ( ) ()() () ()

XPd

xP dx

xdx

ωω

+∞

Ω −∞

====⎡⎤ ⎡⎤

⎣⎦ ⎣⎦

∫∫∫∫

；以下我们来简证：

(

)

(

)

(

)

(

)

gxP dx gxf xdx=

∫∫

；

1）取

()

(

)

gx I x A

=∈

，则

() () () ()

(

)

(

)

(

)()()

XAXXX A

RR A AA

xP dx I xP dx P dx P A

xdx I x

xdx=====

∫∫ ∫ ∫∫

2）若

() ()

,0,

iA i i

gx aI xa A

=≥∈

∑

，且两两不交，

，则

() () () () () ()

111

nnn

XiAXiXiXi

RR A

iii

gxPdx aI xPdx a Pdx aPA

===

⎛⎞

====

⎜⎟

⎝⎠

∑∑∑

∫∫ ∫

() () () () ()()

iA iA

RR R

a I x f x dx a I x f x dx g x f x dx

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

∑∑

∫∫ ∫

；

【例 1.3.2】设

P 是概率空间

(

)

PΩ 上的概率测度，

是非负

F -可测函数，定义：

()

(

)

(

)

QA X Pd

∫

，

∈

；若

()( )

∫

1EX==，则 Q 是 F 上的概率测度；且

(

)

(

)

YQd

∫

存在当且仅当

() ()( )

YXPd

ωω

∫

存在，当积分存在时， AF

∀

∈ ，

()( ) () ()

(

)

YQd YXPd

ωωωω

∫∫

。

§4 条件数学期望

条件数学期望是现代概率论的基本内容之一，它在经

济、金融等领域特别是衍生产品定价方面有着重要应用；同

时，在计算某些概率或期望时，通过在某些随机变量上取条

件，将问题转化为条件概率或条件期望的计算；也是很有用

的方法！

一、条件数学期望的初等情形

1）【离散情形】设离散型随机向量

(

)

,XY

的所有可能取值（向

量值）为

()

{

}

,1,2,;1,2,

xy i j==LL，且

(

)

{

}

,, ,yRY yy∀∈ = L

{

}

(

)

0PY y=>

，则

在给定

{

}

的条件下的条件分布

(

)

{

}

,1,2,

Pxyi= L （这里，

(

)

(

)

PxyPXxYy

）也是一个概

球，则“以如此方式取得白球”与“直接从原袋中取出白球”

的概率是否相同？

令

=“取出白球”，

-n 只球中所含白球的只数，则有

()

() ()

na a

PA EI EEI EPA E E

nn nabab

ξξ ξ

⎛⎞

⎡⎤⎡⎤

== = = = =⋅ =

⎜⎟

⎣⎦⎣⎦

⎝⎠

，事实

上，原过程中：若令

(

)

(

)

(

)

{

}

,,,

gEIR xx

ξξξ

==L

，则应有

() () () { }

()

{}

()

{}

()

ii ii i

ii i

PA Eg gx P x PA x P x P x

ξξξξ ξ

== ===== ==⎡⎤

⎣⎦

∑∑ ∑

；另外，可令

,1,2,

⎧

⎨

⎩

第i次取出白球；

，否则；

（可视为每次取一

球，取后不放回取

n 次），则

12 n

ξξ ξ

+++L ；由于

{}

()

{}

()

110

ξξ

== =− =

，故

；即有：

12 n

EEE E

ξξξ ξ

=+++=

。

【例 1.4.3】设

独立且

～

(

)

，Y ～

(

)

，试求：

1、

(

)

(

)

XX Y n EYX Y n+= +=

；2、

(

)

(

)

XX Y EX YX++

的分布

列；（提示：易知

XYn

～

,Bn

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

，

XYn

～

,Bn

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

）

【例 1.4.4】（条件方差公式）

(

) ()

VarX E Var X Y Var E X Y

⎡

⎤⎡ ⎤

⎣

⎦⎣ ⎦

；

这里，

() () ()

{

}

()

Var E XY E E XY E E XY E E XY EX

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=− =−

⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

，

()

{

}

()

EVarXY EEXY EXY EEX Y EEXY

⎡⎤

⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡⎤

=−= −

⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎣⎦

⎣⎦

，即有

上式成立！

【例 1.4.5】（随机和-随机个随机变量的和[复合随机变量]）

设某商店在中午

12 点到下午3 点到达的顾客数

服从参数为

60 人每分钟的 Poi sson 分布，到达商店的顾客所花的钱数

～

()

100,0.15B

（单位：元），且诸

相互独立，与

也相互独立，

试求商店在该段时间的平均营业额。

2）【连续情形】设

为联合连续的，即

(

)

,XY

是二维连续型

随机向量，且

()

,XY

～

(

)

，则

{

}

(

)

,0APXA

∀

∈∈>

，可定义：

()

{

}

(

)

{}

()

,,,

PX AaYb

ab Ra bP a Y bX A

PX A

∈<≤

∀∈ < <≤ ∈=

∈

；若存在非负可积

函数

(

)

YX A

∈

，满足：

()

,,,

YX A

ab Ra bP a Y bX A f y dy

∈

∀∈ < <≤ ∈=

∫

，

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江湖夜雨LYH

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