机器学习导论：作业一 - 核函数分析

"171840708_张逸凯2" 这篇文档是关于机器学习导论课程的一份作业，强调了学术诚信的重要性，不允许任何形式的抄袭，并规定了作业提交的具体要求和格式。作业包含三个问题，主要探讨核函数在机器学习中的应用。 在机器学习中，核函数是一个至关重要的概念，它允许我们将数据从原始低维度空间非线性地映射到高维度空间，在这个高维空间中进行线性分类或回归，从而解决复杂的数据关系问题。作业的第一部分要求证明对于函数κ(x, y) = ax^Ty + b，其中a, b是任意实数，a和b必须满足a ≥ 0, b ≥ 0，这个条件是κ成为核函数的必要条件。这涉及到核函数的性质，即它们必须定义出半正定的内积空间。 第二部分问题涉及κ(x, y) = x^Ty + c，其中c是任意实数，d是任意正整数。这里要求分析函数κ何时是核函数，何时不是，并给出解释。根据核函数的定义，它必须满足Mercer's定理，即对应的Gram矩阵必须是半正定的。当c为负值时，κ可能无法满足这一条件，因此不是核函数。而当c为非负值，特别是c=0时，κ(x, y) = x^Ty就变成了经典的欧几里得内积，是R^n上的一个标准核函数。 第三部分问题是在上一小问中κ是核函数的情况下，研究d=0时和d不加限制时，κ将N维数据映射的空间。当d=0，κ(x, y) = x^Ty，映射的是原始的N维数据到N维特征空间，映射函数是身份映射，即f(x) = x。而对于任意d，κ(x, y) = x^Ty + d表示了一种非零偏置的映射，将数据从N维映射到无限维的希尔伯特空间。这里的映射函数不再是一个简单的线性函数，而是通过特征映射φ(x) = (1, x^T, x^T x, ..., x^T x^(d-1))^T，其中x^(i)表示x的i次幂，使得κ(x, y)在高维空间中变为φ(x)^Tφ(y)的形式。 这份作业旨在让学生深入理解核函数的概念，以及如何判断一个函数是否能作为有效的核函数，以及这种核函数如何将数据映射到不同的空间。同时，它强调了学术诚信，这是任何科研活动中不可或缺的基础。