非协调有限元方法解决Stokes问题的二阶收敛分析

"这篇文章主要探讨了Stokes问题的非协调有限元逼近方法，作者杨永琴和肖留超来自郑州大学数学系。他们提出了一种新的非协调矩形有限元，该方法在处理Stokes问题时能够满足离散的Babuska-Brezzi条件，并且在速度和压力的计算中实现二阶收敛性。" Stokes问题是一个在流体力学中常见的混合问题，涉及到流体的速度场u和压力场p的计算。问题的数学表述为一个椭圆型偏微分方程系统，通常在二维空间R²中定义。这个问题的解需要满足无旋条件（即 div u = 0），并且在边界上规定流体速度u为零，代表无滑移边界条件。Stokes问题在黏性流体的低雷诺数流动中尤为常见，如微尺度流动或流过固体表面的流体。 在使用有限元方法解决Stokes问题时，一个关键挑战是选择满足离散Babuska-Brezzi条件（简称B-B条件）的单元。这个条件保证了解的存在性和唯一性，也是有限元解与连续解一致收敛的基础。传统的线性或双线性元素可能无法满足这一条件，导致分析上的困难。 文献中提到的非协调Crouzeix-Raviart元是一个一阶精度的非协调有限元，它成功地解决了Stokes问题，但收敛率仅为一阶。为了提高精度，作者在本文中构造了一个新的非协调矩形有限元，通过对单元的性质进行分析，证明了该单元不仅满足离散的B-B条件，而且能够使速度和压力的误差估计达到二阶收敛性。这意味着在适当的选择下，使用这种非协调单元可以更精确地逼近Stokes问题的真实解。 在数学表述上，作者使用了Sobolev空间的概念，如L²((J))、H ô((J))²和H m((J))²，以及与之相关的模和半模。L~((J))空间则包含了在边界积分下平均值为零的函数，这对于处理Stokes问题中的无旋条件至关重要。 这篇论文提供了一个有效且精确的数值方法来处理Stokes问题，为流体力学领域的数值模拟提供了新的工具，尤其是对于那些需要高精度解的情况。通过使用非协调有限元，可以避免传统协调单元在满足B-B条件时的复杂性，同时保持良好的收敛特性。