哈工大2012概率论期末试题详解：独立事件概率与随机变量分布

本资源是一份2012年哈尔滨工业大学秋季学期概率论与数理统计的期末试题及部分答案。考试内容涵盖多个知识点，包括事件的概率计算、随机变量的分布及其应用、概率不等式的估计、正态分布的置信区间以及二维随机变量的联合概率计算。 1. 填空题： - 第一题考察事件的独立性和互斥性，已知事件A、B独立，B与C互斥，A与C对立，要求计算仅C发生或仅C不发生的概率。由于事件C的对立事件是A与B同时发生，因此，仅C发生即A与B都不发生，概率为1减去A和B同时发生的概率，即1 - PA*PB。仅C不发生即A与C同时发生，概率为PC。所以仅C发生或仅C不发生的概率为：1 - PA*PB + PC。 - 第二题涉及指数分布的性质，已知X服从参数为2的指数分布，需要找到随机变量Y = X - 2的负逆变换的概率密度函数，即f_Y(y)。对于指数分布，其概率密度函数与正态分布类似，可以通过转换得到。 - 第三题是关于契比雪夫不等式的应用，要求估计随机变量X大于等于5的概率，利用契比雪夫不等式，可以给出一个上限估计。 - 第四题涉及到正态分布的置信区间计算，给出了样本均值和标准差，根据公式计算μ（总体均值）在95%置信水平下的置信区间。 - 最后一题是二维随机变量的联合概率，给定二维随机变量(X,Y)在特定区域上的均匀分布，求Z和W的最小值之和大于1的概率，需要利用积分或概率几何的方法来求解。 2. 选择题： - 第一题考查事件关系，通过比较概率表达式，判断四个选项哪个不等价于已知条件。其中，A选项表示A与B不相容，即P(A ∩ B) = 0，符合题意；B选项正确，因为对立事件的概率之和为1；C和D选项都与独立性有关，但条件不足以判断是否相等。 - 第二题关于泊松分布，若总体服从泊松分布，样本均值的期望和方差分别是λ和λ。 这份试题涵盖了概率论与数理统计的基本概念和运算，适用于学生对这些概念的巩固和理解。解答这些问题需要熟悉概率的基本原理、随机变量的分布性质以及统计推断方法。