Matlab求解非线性超定/恰定/欠定方程组：最小二乘与算法详解

本文档主要探讨了如何在MATLAB中处理非线性超定、恰定和欠定方程组的求解方法。首先，非线性方程组通常被转化为求解最小值问题，通过`fminsearch`函数来找到最优解，如例子所示： ```matlab xtt = [1, 1]; % 初始猜测值 f = @(x) (3*x(1) + 2/(5+x(2)) - 6)^2 + (4*x(1) + 4/(5+x(2)) - 7)^2 + ... % 定义目标函数 (9*x(1) + 4/(8+x(2)) - 12)^2 + (11*x(1) + 2/(4+x(2)) - 15)^2; [x, fval] = fminsearch(f, xtt); % 求解最小值 ``` 对于线性方程组，MATLAB提供了`solve`和`linsolve`函数，例如求解矩阵A的逆运算： ```matlab A = [5042; 1-121; 4120; 1111]; B = [3; 1; 1; 0]; X = linsolve(A, B); % 求解线性方程组 ``` 矩阵的秩与维度关系决定了方程组的类型： - **恰定方程组**（m=n）：当方程数量等于未知数数量时，存在唯一解，例如`x=A\b`。 - **超定方程组**（m>n）：过多方程导致多个解或无穷多解，MATLAB采用最小二乘法求解近似解。 - **欠定方程组**（m<n）：不足方程，可能无解或无数解，MATLAB寻找基础解系。 MATLAB在处理这类问题时，会根据矩阵的性质选择合适的算法。对于较小的方程组且条件数良好，可以使用Cramer公式、矩阵求逆或Gaussian消元法，但通常在实际计算中，会选择更稳定的LU分解方法，以确保算法的稳健性和效率。 总结来说，该文档提供了MATLAB中解决不同类型的线性方程组的方法，并强调了在实际应用中选择合适算法的重要性。通过实例展示了如何使用`fminsearch`求解非线性方程组以及如何使用`linsolve`处理线性方程组。