线性代数：矩阵特殊操作与求解线性方程组

这篇资源主要涉及线性代数中的线性方程组的解法，特别是原方程组对应的齐次方程组的解。在解决这类问题时，通常需要找到矩阵的化零矩阵（null space）及其规范形式。此外，还涵盖了矩阵的各种操作和输入方法，包括特殊矩阵的生成、稀疏矩阵技术以及与矩阵相关的函数应用。 在求解齐次方程组时，齐次方程组的一般形式是 Ax = 0，其中 A 是系数矩阵，x 是变量向量。如果 A 有非零解，那么它必须至少有一个非平凡的零空间（null space），即存在非零向量 x 使得 Ax = 0。在 MATLAB 中，可以使用 `null(A)` 来计算矩阵 A 的零空间。对于规范形式，`null(A, 'r')` 将返回一个规范化的基础向量集，这些向量构成了 A 的零空间的一组基，并且它们是正交的。 线性方程组的解法还包括直接解法（如高斯消元法、LU 分解、Cholesky 分解等）、迭代法（如高斯-塞德尔迭代、雅可比迭代）以及符号解法，适用于符号运算的场景。稀疏矩阵技术在处理大型矩阵时尤为重要，当矩阵中大部分元素为零时，可以减少计算量并提高效率。 矩阵部分介绍了多种类型矩阵的生成方法，如零矩阵、单位矩阵、随机矩阵、对角矩阵、Hilbert 矩阵、逆Hilbert矩阵、Hankel矩阵和Vandermonde矩阵。例如，`zeros(n)` 和 `ones(n)` 分别生成 n×n 的零矩阵和单位矩阵，`rand(n,m)` 生成 n×m 的随机矩阵，`diag(V)` 用于生成对角矩阵，而 `hilb(n)` 和 `invhilb(n)` 用于生成和求逆Hilbert矩阵。 符号矩阵的输入则涉及到将数值矩阵转换为符号矩阵，通过 `sym(A)` 函数实现，这对于处理含有未知数的线性方程组非常有用。 这篇资源涵盖了线性代数中矩阵的理论和计算方法，是学习和解决线性方程组问题的重要参考资料。