线性规划:单纯形法计算步骤详解
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更新于2024-08-16
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线性规划是一种在运筹学中广泛应用的优化技术,用于解决涉及线性关系的目标函数最大化或最小化问题,同时确保满足一组线性约束条件。在处理这类问题时,单纯形法是一种常用的算法,其计算步骤分为以下几个关键步骤:
1. 寻找初始基和可行解:首先,需要找到一个初始的基本可行解,这是通过分析问题背景,理解决策变量(如例1中的产品甲和乙的产量x1和x2)及其限制条件(如资源A、B和C的消耗限制)来确定的。初始单纯形表用于记录这些变量及其系数。
2. 检验非基变量:对于每个非基变量xj,检查其对应的检验数是否都小于或等于零。若全部非正,则表明已经找到了最优解,算法终止。如果存在正检验数,进入下一步。
3. 判断解的有界性:如果存在正检验数对应的非基变量,且其对应的系数列向量小于等于零,意味着问题解无界,即目标函数无法达到有限的最大值或最小值,算法也停止。
4. 选择进(换入)基变量与出(换出)基变量:基于最小比值法则,选择使得目标函数变化最大的非基变量xk作为进基变量,而选择影响最小的基变量xr作为出基变量。这一步骤通过调整基础解系来寻找新的最优解方向。
5. 迭代直至最优:重复以上步骤,不断更新单纯形表,直到所有非基变量的检验数变为非正,或者发现解无界,此时得到的就是线性规划问题的最优解。
通过单纯形法,线性规划问题被逐步简化,直至达到最优状态。这种方法在实际应用中广泛用于生产计划、投资组合优化、资源分配等场景,它要求问题的形式化以及有效的算法执行能力。理解并掌握单纯形法,对于解决复杂的真实世界问题具有重要意义。
2009-10-13 上传
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