线性规划：单纯形法计算步骤详解

线性规划是一种在运筹学中广泛应用的优化技术，用于解决涉及线性关系的目标函数最大化或最小化问题，同时确保满足一组线性约束条件。在处理这类问题时，单纯形法是一种常用的算法，其计算步骤分为以下几个关键步骤： 1. 寻找初始基和可行解：首先，需要找到一个初始的基本可行解，这是通过分析问题背景，理解决策变量（如例1中的产品甲和乙的产量x1和x2）及其限制条件（如资源A、B和C的消耗限制）来确定的。初始单纯形表用于记录这些变量及其系数。 2. 检验非基变量：对于每个非基变量xj，检查其对应的检验数是否都小于或等于零。若全部非正，则表明已经找到了最优解，算法终止。如果存在正检验数，进入下一步。 3. 判断解的有界性：如果存在正检验数对应的非基变量，且其对应的系数列向量小于等于零，意味着问题解无界，即目标函数无法达到有限的最大值或最小值，算法也停止。 4. 选择进（换入）基变量与出（换出）基变量：基于最小比值法则，选择使得目标函数变化最大的非基变量xk作为进基变量，而选择影响最小的基变量xr作为出基变量。这一步骤通过调整基础解系来寻找新的最优解方向。 5. 迭代直至最优：重复以上步骤，不断更新单纯形表，直到所有非基变量的检验数变为非正，或者发现解无界，此时得到的就是线性规划问题的最优解。 通过单纯形法，线性规划问题被逐步简化，直至达到最优状态。这种方法在实际应用中广泛用于生产计划、投资组合优化、资源分配等场景，它要求问题的形式化以及有效的算法执行能力。理解并掌握单纯形法，对于解决复杂的真实世界问题具有重要意义。