集合的一般理论:可数集与不可数集
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更新于2024-07-17
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"该资源是泛函理论的研究生教程课件,主要讲解了集合的一般理论,包括可数集与不可数集的概念,几个常用集合的介绍,集合的对等与势的定义以及相关性质,还有集合的运算,并探讨了有限集合与无限集合的势,特别是可数集与不可数集的特性。"
在数学中,集合论是基础理论,它涉及到数学对象的基本构造和关系。本课件的主题“专题一 集合的一般理论”深入讨论了集合的各个方面。首先,可数集与不可数集是集合论中的核心概念。可数集是可以与自然数集建立一一对应关系的集合,比如所有整数、有理数集都是可数集。而不可数集,如实数集,不能与自然数集形成一一对应,这意味着它的“大小”比可数集大得多。
接着,课件介绍了几个常用的集合,这些集合可能包括实数集、复数集、函数集等,并且阐述了集合的对等关系。对等关系是指两个集合之间存在双射,即每个元素在另一个集合中都有唯一的对应元素。对等关系具有自反性、对称性和传递性,这些是等价关系的基本性质。通过对等关系,可以将集合分成等价类,同一等价类中的集合具有相同的势或基数。
势或基数是衡量集合“大小”的概念。对于有限集合,其势等于集合中元素的个数;而对于无限集合,如可数集,其势不再是具体的数,而是与自然数集的势相等,称为阿列夫零(ℵ₀)。而不可数集的势则无法与自然数集对等,表明其包含的信息量远大于可数集。
课件还提到了一些关于势的重要定理,如伯恩斯坦定理和加逼定理。伯恩斯坦定理表明,如果两个集合之间可以互相映射,那么它们的势是相等的。加逼定理则揭示了集合间的势关系,当一个集合的势介于另外两个集合之间时,这三个集合的势其实是相等的。
最后,课件讨论了可数集的特性,所有的可数集都与自然数集对等,其势为阿列夫零。这个概念在理解无限集合的性质和结构时非常重要,特别是在分析数学和实变函数等领域。
通过这些理论的学习,硕博研究生能够更深入地理解数学的基础,为后续的泛函理论学习打下坚实的基础。
2021-10-01 上传
2021-09-30 上传
2023-05-30 上传
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