图论算法回顾：Dijkstra与Bellman-Ford

"内容回顾-图的算法，包括Bellman-Ford算法和Dijkstra算法" 在图论中，最短路径问题是寻找两个节点之间路径权重之和最小的路径。这个问题在许多领域，如网络路由、交通规划等都有广泛应用。本文将重点回顾两种经典的最短路径算法：Bellman-Ford算法和Dijkstra算法。 Bellman-Ford算法是一种解决有向图中源点到其他所有点最短路径问题的动态规划方法。它的主要步骤如下： 1. 从一个指定的源点v0开始，构建一棵以v0为根的生成树，并为每个顶点li赋值为v0到该顶点的初始距离，通常li设置为无穷大，除了v0自身的距离设为0。 2. 遍历图中的每一条边vij，检查是否有顶点vj可以通过边vij更新其距离，即lj > li + dij。如果有，就更新vj的距离 lj = li + dij，并移除以vj为终点的树枝，用边vij替代。 3. 重复步骤2，直至所有边都被检查过一次以上。Bellman-Ford算法能处理负权边，但要注意可能存在负权环导致无限递减的情况。 Dijkstra算法则是另一种解决单源最短路径问题的算法，它按照最短路径长度不减的顺序逐步扩展。其基本思想和步骤如下： 1. 初始化：对于起点v0，所有与v0直接相连的顶点vi，其距离li设为w(v0, vi)，即边的权重；其他顶点距离设为无穷大。 2. 从未解的顶点集合中选择一个距离值最小的顶点vk，将其标记为已解。 3. 更新vk的直接后继顶点的l值，如果通过vk可以找到更短的路径，即如果新的路径长度li' < li，那么更新li = li'。 4. 重复步骤2和3，直到所有顶点都被标记为已解。Dijkstra算法假设图中没有负权边，因为负权边可能导致算法不正确地计算最短路径。 这两种算法各有优缺点。Bellman-Ford算法可以处理含有负权边的图，但效率相对较低，需要进行V-1轮迭代，时间复杂度为O(VE)。而Dijkstra算法适用于非负权图，采用优先队列（如二叉堆）实现时，时间复杂度可优化至O(E log V)，在无负权边的情况下更为高效。理解并掌握这两种算法对于解决实际中的最短路径问题至关重要。