西安电科大自动化专业系统仿真：阶跃响应与RK方法误差分析

在西安电子科技大学机电工程学院自动化专业系统仿真的课程中，学生们被布置了一次上机作业，任务是针对一个给定的系统传递函数进行分析。该系统具有初始值为0，时间常数τ=1s的特点，系统输出达到稳态值的98%所需时间为4个时间常数即4s。作业要求学生使用龙格-库塔（Runge-Kutta）方法的RK-1、RK-2和RK-3版本对系统的阶跃响应进行仿真，并与理论结果进行比较。 首先，理解系统的阶跃响应意味着需要解决微分方程，其中系统的动态行为由传递函数描述。微分方程的求解通常涉及连续时间系统的数学模型，可能是一阶或更高阶的常微分方程。学生需要将系统的传递函数转换成相应的微分方程形式，然后利用Runge-Kutta方法的递推公式来近似解这个微分方程。 RK-1、RK-2和RK-3方法分别对应不同的数值解法。它们基于函数的泰勒级数展开，通过一系列的内插和加权求和来逐步逼近真实的解。具体来说： - RK-1 (欧拉方法) 采用最简单的线性插值，计算公式较简单但精度较低。 - RK-2 (改进欧拉方法) 是二阶方法，利用两次函数值估计，提高了精度。 - RK-3 (Heun方法) 是三阶方法，利用三次函数值进行更准确的预测。 - RK-4 (经典Runge-Kutta方法) 是四阶方法，提供最优的近似，但计算量相对较大。 作业中，学生需要编写对应的M函数文件（如RK1.m, RK2.m, RK3.m），并将传递函数的导数作为输入，根据给定的仿真步长（h）进行迭代计算，得到每个时间步的仿真输出值。然后，他们需要计算这些数值解与理论值的差距，包括绝对误差和相对误差，后者更能反映误差的实际大小相对于系统输出的百分比。 此外，学生还需分析仿真步长（h）对误差的影响，通过改变步长并重复计算，绘制出步长与误差的关系图，观察误差随步长减小的趋势。这种实验有助于理解数值解法的收敛性和稳定性。 最后，将不同Runge-Kutta方法的误差进行对比，可能发现高阶方法（如RK-4）虽然计算复杂，但能提供更稳定的仿真结果，而低阶方法（如RK-1）则误差较大。整个过程中，学生将运用到MATLAB等数值计算工具，对理论知识与实际操作进行了结合，强化了系统仿真的理解和应用能力。