利用Legendre小波求解分数阶Bratu方程的数值方法

"这篇文章主要介绍了使用Legendre小波方法来求解分数阶Bratu型积分微分方程的数值解。作者通过结合Legendre小波的定义和性质，提出了Legendre小波分数阶积分算子矩阵，将原问题转换为非线性代数方程组的求解，简化了计算过程。文章还提到了唯一性定理，证明了解的唯一性，并通过增加点数来提高数值解的精度。数值算例验证了该算法的有效性和可行性。" 在数学和数值分析领域，分数阶微积分已经成为研究和解决复杂系统问题的重要工具，特别是在物理、工程和金融等领域。Bratu型积分微分方程是一种非线性的边值问题，通常出现在热传导、化学反应动力学和弹性力学等领域的模型中。分数阶Bratu型积分微分方程由于其阶数不再是整数，导致求解难度增大。 Legendre多项式是一组正交多项式，在数值分析和函数逼近中广泛应用。它们由 Legendre 方程定义，能够形成一个完备的基，用于多项式插值和数值积分。在本文中，Legendre小波是Legendre多项式的扩展，它结合了小波分析的优点，如局部化和多分辨率分析，能更有效地处理非线性和分数阶的问题。 利用Legendre小波构建的分数阶积分算子矩阵是解决问题的关键步骤。通过这种矩阵形式，原积分微分方程被转化为一组非线性代数方程组，这为编程求解提供了便利，减少了计算复杂度。唯一性定理的证明确保了解的唯一性，这是数值解方法中至关重要的性质。 随着计算点数的增加，数值解的精度得到提升，这表明方法的收敛性良好。数值算例进一步验证了这种方法在实际问题中的有效性，表明它可以成功地求解分数阶Bratu型积分微分方程，为相关领域的研究提供了一种实用的数值方法。 这篇研究展示了如何利用Legendre小波方法来处理复杂积分微分方程，为分数阶微积分问题的数值求解提供了一条新的路径。这种方法的实用性和精确性对于理论研究和实际应用都有着重要意义。