模式识别与机器学习：线性判别、核技巧与EM算法解析

"该资源包含了国科大模式识别与机器学习课程的考试答案，主要涉及线性判别函数、广义线性判别、参数数量、偏差-方差分解以及EM算法在高斯混合模型中的应用等内容，适用于课程复习和考试准备。" 一、线性判别函数与广义线性判别 线性判别函数形式通常表示为yw，其中x是特征向量的增广形式，w是权重系数。这个函数在几何上表现为数据空间中的直线或高维空间的超平面，用于分类。当特征通过低维到高维的投影后，就成为广义线性判别，能够模拟复杂的分类边界。然而，广义线性判别可能会遇到参数过多的问题，可能导致过拟合。 二、非线性模型与核技巧 为了处理非线性问题，有时会使用核技巧，如径向基函数(RBF)核，避免参数爆炸的同时，可以处理非线性关系。但这种方法也有限制，如选择合适的核函数形式和评估其有效性是个挑战。在有先验知识的情况下，设计更适合的非线性模型是更优的选择。 三、参数数目 1. 线性模型参数数量：对于包含一个偏置项的线性模型，参数总数为n+1，若n=3，则参数数为4。 2. 二次模型参数数量：二次模型除了线性项外还包含二次项和混合项，参数总数为3（一次项）+3（二次项）+3（混合项）+1（偏移项）=10。 四、偏差-方差分解 偏差-方差分解是评估模型性能的重要工具。它是模型预测误差的三个组成部分：偏差（模型的期望预测与真实值的平均差异，反映模型复杂度），方差（同一模型在不同数据集上的预测差异，反映模型对数据噪声的敏感性），和噪声（数据本身的不确定性）。通过推导，可以将总误差分解为这三个部分。 五、EM算法与高斯混合模型 EM（Expectation-Maximization，期望最大化）算法在处理高斯混合模型时，假设数据由多个独立的高斯分布混合产生。算法流程包括： 1. 初始化：设定混合高斯模型的参数，如混合比例π，协方差矩阵δ，均值μ。 2. E步骤：计算每个数据点属于各个高斯分量的概率分布γ。 3. M步骤：根据E步骤的结果，更新模型参数以最大化似然函数。 迭代这两个步骤直至模型参数收敛，从而找到最优的混合高斯模型。 总结，这份资料详细介绍了模式识别和机器学习中的核心概念，包括线性判别、非线性模型、参数数量的计算、偏差-方差分析以及EM算法的应用，对于学习者理解和准备相关考试提供了宝贵材料。