Galois场GF(pq)上多项式等效项的Monic不可约多项式搜索方法

本文探讨的主题是"在Galois场GF(pq)上搜索具有多项式十进制等价项的单调不可约多项式"。Galois场是一种在数论和密码学中重要的数学结构，特别是在设计和分析密码系统时，因为它提供了一个理想的环境来处理离散对称操作。有限域GF(pq)，其中p和q是素数，是Galois字段的一个特殊类型，特别适用于密码算法中的密钥生成和置换盒设计。 在加密算法中，特别是像AES这样的高级加密标准（AES），S-box（替换盒）扮演着关键角色，它们通过非线性变换保护数据的安全。不可约多项式（Irreducible Polynomials, IPs）在这里被利用，因为它们的特性使得它们适合作为S-box的基础，确保了系统的混淆性和扩散性。 传统的S-box设计通常基于Galois字段GF(2^k)上的多项式，如GF(2^8)在AES中。然而，本文作者Sankhanil Dey和Ranjan Ghosh提出了一种新颖的方法，通过在GF(pq)上寻找具有特定十进制等价项的单调不可约多项式，这可能有助于扩展到更复杂的Galois域，或者创建更加难以预测的S-box。 在他们的研究中，数学方法的核心在于找到单调多项式，即首项系数为1的多项式。他们通过比较多项式的多项式乘法和Galois域GF(pq)的运算规则，设计了一个算法来识别和生成这些单调不可约多项式。算法的执行时间也被讨论，这对于理解其效率和潜在的应用场景至关重要。 值得一提的是，文中提到的通过将α（属于GF(pq)）与自身相乘得到非单调IP的方法，这实际上是利用了Galois域的性质，即α乘以它自己等于α加上α的模p-1和模q-1的和，这可能导致非单调性。然后，通过某种策略，可以将这些非单调多项式转化为单调形式，这在IP的构建过程中是必要的一步。 总结来说，这篇论文不仅贡献了一个新的数学方法来寻找Galois域GF(pq)上的单调不可约多项式，而且还展示了这个方法在实际应用中的可行性。这对于理解和改进现代密码系统，尤其是那些依赖于Galois字段的算法，有着重要的理论和实践意义。