最优化方法入门：凸函数与极值问题解析

"东北大学的最优化方法课程课件，主要介绍了最优化方法的基本概念、步骤和经典极值问题，包括无约束和等式约束的极值问题的解法，如Lagrange乘子法，并给出了实例应用，如数据拟合、原料切割、运输问题等。此外，还讨论了最优化问题的向量表示法和向量间的序关系。" 在最优化方法中，"凸函数"是一个关键的概念，它在寻找全局最优解时起着至关重要的作用。一个函数被称为凸函数，如果其定义域是凸集，且对于定义域内的任意两点以及任意的λ(0,1)区间内的系数，函数值在两点连线上的任意点都小于等于这两点的函数值的线性组合。这个性质确保了在凸函数的局部最小值同时也是全局最小值，简化了求解过程。 最优化方法的解决问题的步骤通常包括五个阶段： 1. 定义问题，收集数据：明确需要优化的目标，收集相关的信息和数据。 2. 建立数学模型：用数学语言表述问题，确定决策变量，设定目标函数和约束条件。 3. 分析模型：评估模型的适用性，考虑是否适合采用凸函数或者其它特定类型的函数。 4. 求解：利用合适的算法，如梯度下降、牛顿法或Lagrange乘子法等，在计算机上求解。 5. 验证与实施：检查解的合理性，确认是否满足实际需求并进行实施。 课件中特别提到了无约束极值问题和仅含等式约束的极值问题。对于无约束极值问题，直接求解函数的导数或偏导数为零的点即可找到可能的极值点。而含有等式约束的问题，可以使用Lagrange乘子法，通过引入拉格朗日乘子来同时处理目标函数和约束条件。 实例部分展示了最优化方法在实际问题中的应用，如数据拟合（最小二乘法）、原料切割（求最大收益）、运输问题（求最低运输成本）以及营养配餐和分配问题等。这些实例帮助理解最优化方法的实际价值和解决复杂问题的能力。 最后，课件介绍了最优化问题的向量表示法，这对于处理多变量问题至关重要。向量表示法允许我们用向量来描述决策变量，用向量函数来表示目标和约束，简化了问题的表达，使得数学工具如线性代数和矩阵运算可以直接应用于最优化问题。 这个课件全面地概述了最优化方法的基础知识，包括理论和实践应用，是学习和理解最优化问题解决策略的良好资源。