动态规划解数字三角形最大路径和

"该资源主要讨论的是如何使用动态规划解决一个经典的计算机科学问题，即‘数字三角形’问题。这是一个寻找从数字三角形顶部到底部最大路径和的问题，每一步只能移动到下一行相邻的数字上。" 在这个问题中，核心的算法思想是动态规划，它是一种将复杂问题分解成子问题并存储子问题的解决方案，从而避免重复计算的技术。在动态规划中，我们通常定义一个状态数组来存储中间结果，并按照一定的顺序逐步求解。 具体到这个数字三角形问题，我们可以定义两个状态： 1. `D(r, j)` 表示数字三角形中第 `r` 行第 `j` 个数字本身。 2. `MaxSum(r, j)` 表示从第 `r` 行第 `j` 个数字到底边的最大路径和。 为了找到整个三角形的最大路径和，我们需要计算 `MaxSum(1, 1)`，即从第一行第一个数字开始到底部的最优路径和。根据题目描述，我们可以得出以下递推关系： 如果当前处于第 `r` 行第 `j` 个数字，那么下一步只能移动到第 `r+1` 行的第 `j` 个或第 `j+1` 个数字。因此，`MaxSum(r, j)` 可以通过比较两种可能路径的和来确定： - 如果选择移动到 `D(r+1, j)`，则 `MaxSum(r, j) = MaxSum(r+1, j) + D(r, j)`。 - 如果选择移动到 `D(r+1, j+1)`，则 `MaxSum(r, j) = MaxSum(r+1, j+1) + D(r, j)`。 最终，我们选择使得 `MaxSum(r, j)` 更大的那个方向。 提供的参考程序I是一个C语言实现的解决方案。它首先读入数字三角形的大小 `N` 和每一行的数字，然后使用递归函数 `MaxSum` 来计算最大路径和。在 `MaxSum` 函数中，当到达三角形的底部（即 `r == N`）时，返回当前位置的数字 `D[r][j]`，否则通过递归计算两种可能路径的和并取较大值。 程序的主函数 `main` 负责读入数据并调用 `MaxSum` 函数输出结果。程序中的二维数组 `D` 用于存储输入的数字三角形，而 `N` 存储三角形的行数。 总结来说，这个动态规划问题的关键在于理解如何定义状态，以及如何根据状态之间的关系构建递推公式。通过这种方式，我们可以有效地解决数字三角形问题，避免了暴力递归带来的重复计算，提高了算法效率。