C++实现FFT算法详解及源码

"这篇博客文章提供了快速傅里叶变换(FFT)算法的C++实现代码，适用于处理数据长度为\(2^{2^n}\)的情况，其中数据的偶数位置存储实部，奇数位置存储虚部。代码还支持正向和逆向变换的选择。" 快速傅里叶变换(FFT)是一种在数字信号处理、图像处理、通信工程等领域广泛应用的高效算法，它能够将复数序列的离散傅里叶变换(DFT)计算时间从线性降低到对数时间复杂度。本文提供的C++代码实现了这一算法。 在给定的代码中，可以看到以下关键部分： 1. **数据预处理**： - 首先进行位反转，确保输入数据按照二进制反序排列。这是FFT算法的基础，因为FFT算法依赖于这种排序来分阶段处理数据。 2. **Danielson-Lanczos引理的应用**： - 通过不断将数据分为两半并分别处理（蝶形运算）来实现FFT。每次处理后，数据集的大小减半，直到只剩下一个元素。 - 在每次蝶形运算中，需要更新旋转因子`wr`和`wi`，它们与当前层的步长`m`和角度`\(\theta\)`有关。`\(\theta = \frac{2\pi}{m}\)`，在逆变换中，`\(\theta\)`取负值以得到正确的相位关系。 3. **递归结构**： - 代码使用了递归的方式实现FFT，每次处理完一半的数据后，对剩余的一半进行相同的操作，直到数据长度减小到1，完成单个元素的处理。 4. **复数运算**： - 代码中的`tempr`和`tempi`用于暂存中间计算结果，涉及复数的加法和乘法运算，这些运算在蝶形运算中执行。 5. **性能优化**： - 通过预先计算旋转因子`wr`和`wi`，避免了在循环内部进行频繁的三角函数计算，从而提高了性能。 6. **参数设定**： - `isInverse`参数用于选择执行正向或逆向FFT。当设为`true`时，执行逆变换，反之则执行正向变换。 这个C++实现的FFT算法虽然简洁，但并不包含一些常见的性能优化，如位反转表的预计算或使用复数类等。在实际应用中，可能需要根据具体需求和性能要求进行适当的修改和优化。对于未知数据长度的场景，可以使用动态分配内存或设计适应不同长度的通用版本。同时，理解FFT的基本原理以及如何将其应用于特定问题是非常重要的。