有限元分析基础：形函数与解题策略

"形函数的性质-有限元分析讲义" 有限元分析是一种广泛应用的数值计算方法，主要用于解决工程和科学中的复杂问题，特别是在结构力学、流体力学等领域。通过对实际物理系统进行数学近似，有限元分析将连续体划分为多个相互连接的单元，每个单元都有自己的形状函数，用于描述在特定载荷下的响应。这种方法允许我们用有限数量的未知量来近似无限未知量的真实系统，从而大大简化了求解过程。 在有限元分析中，单元是构建模型的基本构建块，它们可以是线性的，也可以是非线性的，根据问题的特性而变化。每个单元都有一组方程来描述其在不同载荷下的行为，而整个模型的响应则是所有单元响应的组合。由于单元内部的未知量是有限的，因此得名“有限单元”。 有限元法的特点包括： 1. 将连续体离散化为有限个单元，以节点作为连接点。 2. 不直接处理微分方程，而是通过单元本身的特性来研究。 3. 理论基础简单明了，物理概念清晰，可适应不同程度的理解。 4. 具有高度灵活性和广泛适用性，能适应各种复杂问题。 5. 运算中广泛采用矩阵方法，使得计算过程更为高效。 有限元分析通常包含以下几个步骤： 1. 单元分析：确定单个单元在给定载荷下的行为。 2. 整体分析：将所有单元组合起来，分析整个结构的响应。 3. 载荷移置：将载荷从边界条件转移到单元上。 4. 引入约束：处理结构的固定边界或其他约束条件。 5. 求解约束方程：通过线性代数求解器找到满足所有条件的未知量。 在有限元方法中，主要有三种类型： 1. 有限元位移法：选择节点位移作为基本未知量，这是最常用的方法。 2. 有限元力法：选择节点力作为未知量，适用于某些特定问题。 3. 有限元混合法：结合节点位移和节点力作为基本未知量。 有限元位移法因其系统性和规律性而便于编程求解，通常成为首选。在后处理阶段，计算结果会被进一步处理，以提供如应力分布、结构变形等直观信息，并以图形方式展示，帮助设计师评估和优化设计方案。 选择合适的位移函数是有限元分析的关键。理想的位移函数应该尽可能接近实际弹性体的位移形态。对于简单的结构如桁架和刚架，有限元解可能是精确的，因为其位移函数与真实变形一致。然而，在连续体弹性力学问题中，通常无法找到完全匹配的位移函数，因此获得的是近似解。这就要求在选择形函数时，要尽可能保证其能够准确地捕捉到结构的动态和静态行为。