并行计算中的稠密矩阵运算：带状与棋盘划分

"数值并行算法之稠密矩阵计算.pdf" 这篇文档主要涵盖了数值并行算法在处理稠密矩阵计算中的应用。稠密矩阵是指非零元素比例较高的矩阵，这类矩阵在许多科学计算和工程问题中常见，如线性代数、数值模拟等领域。并行计算是利用多处理器或分布式计算资源同时处理任务，以提高计算效率，尤其在处理大规模矩阵运算时更为重要。 文档详细介绍了几种矩阵的划分策略，这是并行计算中实现矩阵运算的关键步骤，目的是将大矩阵分解为小块，便于在不同计算节点上分配和处理。 1. 矩阵的划分 - 带状划分：这种划分方式将矩阵按照带状结构分割，通常用于列主序存储的矩阵。例如，将一个16x16的矩阵按列分成4个部分，或者将一个27x27的矩阵用3种不同的方式划分为带状块。这样可以使得相关的运算集中在矩阵的一条带上，减少通信开销。 - 棋盘划分：棋盘划分是另一种常见的矩阵划分方法，特别适合于行主序存储的矩阵。对于8x8的矩阵，如果p=16，可以将其划分为4x4的小块，形成类似棋盘的结构，然后通过行和列的循环进一步细化划分。这种划分有助于平衡负载，并减少数据传输。 2. 矩阵转置 矩阵转置在并行计算中也是一个重要的操作。并行环境下，矩阵转置需要考虑如何高效地交换行和列元素，这通常涉及数据的重新分布，以及可能的通信成本。棋盘划分可以方便地进行局部转置，而带状划分可能需要更复杂的通信策略。 3. 矩阵-向量乘法 在并行环境中，矩阵-向量乘法可以通过将矩阵的不同部分分配给不同处理器来加速。每个处理器负责计算一部分矩阵行与向量的点积，然后将结果相加。关键在于如何有效地同步各个处理器的结果，避免全局通信的瓶颈。 4. 矩阵乘法 矩阵乘法是最耗时的运算之一，尤其是对于大型稠密矩阵。Strassen算法和Coppersmith-Winograd算法等快速矩阵乘法方法在理论上有更好的时间复杂度，但在并行环境下，像Block-Cyclic分布这样的矩阵划分策略结合像GemM（General Matrix-Matrix multiplication）这样的基本操作，可以实现高效的并行计算。并行矩阵乘法需要处理的问题包括负载均衡、通信开销最小化以及如何有效地利用高速缓存。 这些内容是中国科学技术大学计算机科学与技术系和国家高性能计算中心（合肥）的课程资料，旨在帮助学生和研究者理解并行计算在处理大规模数值计算特别是稠密矩阵运算中的方法和挑战。通过学习这些概念和技巧，读者能够设计和优化并行算法，提高在高性能计算平台上的计算效率。