算法设计详解：习题答案解析与关键点

算法设计与分析是一门重要的计算机科学课程，它涉及到理论基础和实践技巧，让学生深入理解并掌握各种算法的工作原理和效率评估。本篇习题参考答案涵盖了多个核心概念，旨在通过实例加深理解和应用。 习题1.1 主要考察了欧几里得算法（Euclidean Algorithm），这是求两个正整数最大公约数（GCD）的基本方法。题目要求证明gcd(m,n) = gcd(n, m mod n)，这个性质表明，对于任何正整数m和n，他们的最大公约数等于n除以m除以n后的余数m mod n的最大公约数。这一过程体现了算法的迭代特性，通过不断替换较大的数为两数相除的余数，直到余数为零，此时的除数即为最大公约数。同时，习题指出当m < n时，算法会交换m和n来适应这个顺序，这样的交换仅会进行一次，确保算法的正确性。 习题1.2 包括两个实际问题，一是“农夫过河”，它实际上是涉及逻辑判断和状态转移的问题，需要根据规则制定决策树或状态机，保证农夫、狼、山羊和白菜的安全过河。二是“过桥问题”，在有限的时间和资源下，合理安排手电筒的传递，以确保所有人都能安全过桥。这些问题展示了算法在解决实际问题中的应用。 习题1.3 要求分析二次方程求解算法，特别是针对实系数的方程ax^2 + bx + c = 0。算法Quadratic通过计算判别式D来确定根的情况：当D > 0时，有两个不同的实根；D = 0时，有一个重根；D < 0时，无实根。这体现了数值计算和算法设计中的条件分支结构。 习题1.4 关于十进制整数转二进制整数的算法，是数字系统转换的基础。a.文字描述可能涉及逐步除以2取余数的过程，每次将余数记录下来，直到商为0，然后从下往上拼接得到二进制形式。b.伪代码描述则会显示循环和条件判断，如while n不为0，执行n = n / 2取余操作，并保存结果，最后返回二进制序列。 总结来说，这些习题不仅测试了学生对算法设计（如欧几里得算法、二次方程求根和数字系统转换）的理解，还考察了解决实际问题的能力以及编写算法逻辑的能力。通过解决这些问题，学生能够巩固基本的数学原理，提高编程技能，并学会分析和优化算法的性能。