EM算法解决身高分布混淆问题：似然函数与参数估计

在本文中，我们讨论了如何使用似然函数和EM算法来估计男性和女性身高的高斯分布参数。首先，"写出似然函数"这一部分，作者指出在假设男性和女性身高符合高斯分布的情况下，似然函数是描述观察数据与给定参数下数据出现概率的关键数学工具。对于100个男生的身高数据，似然函数L(θ|x)计算的是这些样本数据在参数θ（包括均值u和方差∂²）下的联合概率。 接下来，通过对似然函数取对数并整理，我们得到对数似然函数，这有助于处理数值计算的稳定性问题。然后，目标是找到使对数似然函数最大的参数值，即对其进行求导并令导数等于0，得到似然方程。通过解这个方程，我们可以得到最佳的分布参数估计。 然而，当引入混合模型，如男生和女生混在一起的情况时，问题变得复杂。EM算法（Expectation-Maximization）在这种情况下派上了用场。EM算法的核心思想是迭代地在期望（E步）阶段估计隐藏变量（在这个例子中，是样本所属的性别分布）的期望值，然后在最大化（M步）阶段更新参数估计，直到收敛。 在E步中，我们假定每个样本可能来自两个高斯分布之一，并计算每个样本归属每个分布的概率。在M步中，利用这些概率更新高斯分布的参数，使得似然函数最大化。这是一个典型的“鸡与蛋”问题，因为我们需要知道样本来自哪个分布才能估计参数，但又需要参数估计来确定样本归属。 通过EM算法，即使样本的性别未知，也能逐步接近最优的参数估计。这个过程展示了EM算法在处理缺失数据和复杂模型中的实用价值，它能够处理复杂的概率模型，并在实际问题中实现有效的参数估计。因此，EM算法是一种强大的工具，特别是在统计推断和机器学习领域，尤其适用于数据挖掘和模式识别任务。