高维离散动力系统Hopf不变流形存在性探讨

"该文章是2001年发表于吉林大学自然科学学报的一篇自然科学论文，由邹永魁和董险峰撰写。研究内容主要涉及高维离散动力系统中的Hopf不变流形（即周期不变流形）的存在性问题。作者通过不动点的特征值结构和Fredholm算子理论，直接证明了高维映射下Hopf不变流形的存在，并给出了这些不变流形的渐近表达式。关键词包括Hopf不变流形、离散动力系统和中心流形。" 高维离散动力系统的Hopf不变流形是一个关键研究主题，尤其是在动力系统理论中。在连续动力系统中，Hopf分支是描述平衡态向周期运动转换的重要分支现象，而离散动力系统由于其特性，不能直接将这种分支结构应用于周期解。Lose的工作首次将Hopf分支的概念扩展到离散系统，通过周期不变流形来研究这种现象。然而，对于高维系统，这种方法在实际应用中存在一定限制。 论文作者邹永魁和董险峰提出了一个直接的方法来证明高维离散动力系统中的Hopf不变流形的存在性。他们考虑了一类单参数离散动力系统，形式为\( F(x_n, \mu) = x_{n+1}, \quad x_n \in \mathbb{R}^m, \mu \in \mathbb{R} \)，并定义了一个Hopf不变流形，即存在一个以2π为周期的连续函数v，使得流形y={v(s); s \in \mathbb{R}}是映射F的不变流形。如果这样的流形不平凡，即不包含不动点，那么就称为非平凡的Hopf不变流形。 文章的核心贡献在于，在特定的特征值结构条件下，论文证明了系统(1.1)在v=0附近存在非平凡的Hopf不变流形。这种方法不仅提供了理论上的存在性证明，还提供了解决这类不变流形的渐近展开方法，为数值计算提供了理论支持。 这篇论文为理解和研究高维离散动力系统的动态行为提供了新的视角和工具，特别是在分析系统如何从稳定状态转变为周期性运动的过程中。这对于理解和预测复杂系统的行为，如生物系统、物理系统和工程系统中的动态模式，具有重要意义。