东南大学16-17-3线性代数A期末试题A卷答案详解

本题为东南大学线性代数A课程的期末试题A卷答案，涵盖了多个章节的重要知识点。以下是针对各题目的详细解析： 1. 填空题： - 第1题要求计算矩阵\( A \)的秩，由于\( T(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\)，\( T(\beta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)，而\( A = T(\alpha)\cdot T(\beta) \)的结果是零矩阵，说明\( A \)是满秩矩阵，即秩为2。所以\( A = 0 \times O = 0 \)。 - 第2题涉及到矩阵乘法运算的性质，已知矩阵\( A \), \( B \), 和\( C \)的行列式分别为1, 2, 和3，而\( A \cdot B \cdot O \cdot C \)的结果与\( C \)相同，因为中间乘以零矩阵会将结果简化为左乘矩阵\( C \)本身，所以\( A \cdot B \cdot C = C \)，即\( C \)。 - 第3题中，由三个变换\( T_1 \), \( T_2 \), \( T_3 \)生成的向量空间\( L(\alpha, \beta, t\alpha) \)维数为2，意味着\( t\alpha \)可以被\( \alpha \)和\( \beta \)线性表示，因此\( t \)不能使得\( \alpha, \beta, t\alpha \)线性无关，所以\( t \)的值不是唯一的，但至少有一个解。 2. 解方程组： - 提供的具体方程组没有给出，所以无法给出通解。通常，求解线性方程组的方法包括高斯消元法、克莱姆法则等，需要根据方程的具体形式来计算。 3. 二次型分析： - 题目要求对一个实二次型进行正定性判断，给定的二次型表达式中，\( f(x, y, z) = ax^2 + bx^2 + cxy + dxx + txx \)，正定性的条件是系数矩阵的导数矩阵是对称且正定的。计算并检查该矩阵的特征值是否都大于0，才能确定\( t \)的取值范围。 4. 特征值和特征向量问题： - 对于非齐次线性方程组的解与特征向量的关系，如果\( \alpha \)和\( \beta \)是两个不同的解，且它们都是\( \lambda \)的特征向量，则\( \alpha - \beta \)也是\( \lambda \)的特征向量，因为特征向量之间的差也是特征向量。 5. 相似矩阵： - 如果矩阵\( A \)与\( B \)相似，它们有相同的特征多项式，从而可以利用特征多项式的值来计算它们的迹\( tr(A) = tr(B) \)，这里给出了\( tr(A) = 6 \)，因此\( |A| = 6 \)。 6. 代数余子式和特征值的关系： - 行列式与特征值的关系是通过特征多项式来体现的，题目提到三阶矩阵\( A \)的特征值为1, 2, 3，其特征多项式为\( det(A - \lambda I) \)，由特征多项式的展开式可知\( A_{11}A_{22}A_{33} - (A_{11}A_{23} + A_{12}A_{21} + A_{13}A_{31}) + A_{11} \)等于11/6，这是与行列式和代数余子式相关的性质。 7. 线性无关性与组合： - 问题①涉及线性组合的线性无关性，虽然原组线性无关，但是加权后的组合并不一定保持线性无关，需要具体分析各个向量的权重。 这些题目涵盖了线性代数中的矩阵秩、矩阵乘法、向量空间、二次型正定性、特征值与特征向量、矩阵相似性和行列式与特征值的关系等多个核心概念。解答时需要熟练掌握相关理论，并结合具体数值进行计算和分析。