Dijkstra与Floyd算法在Matlab中的实现及其时间复杂度分析

Dijkstra算法是一种用于寻找图中最短路径的经典算法，它在计算机科学中广泛应用于网络路由、路线规划等问题。在MATLAB中实现Dijkstra算法的代码片段展示了其核心步骤： 1. **算法定义**: - Dijkstra算法的时间复杂度是O(NV^2)，其中N是顶点的数量，V是边的数量。该算法通过维护一个优先队列来确定下一个最优节点，直到找到从起点到所有其他节点的最短路径。 - 变量`D[i]`表示从源节点v到节点i的最短路径长度，`P[i]`则是路径中的前驱节点。 - 注意事项包括：(a) 邻接矩阵`E`中非相邻节点的权重设置为无穷大，(b) 算法不使用数组对角线元素（AV），(c) 边权不能为负值。 2. **MATLAB函数实现**: - `void Graph::Dijkstra(int v, vector<int>&D, vector<int>&P) const` 是具体实现，初始化时，将源节点v的邻接节点的路径长度设为边的权重，并将其标记为已访问（`M[v]=false`）。然后在主循环中，不断寻找未访问节点中与当前已知最短路径最近的节点，更新相应路径长度和前驱节点。 Floyd-Warshall算法相比之下更通用，适用于求解任意两个节点之间的最短路径，时间复杂度更高，为O(NV*|E|+NV^2)。它的主要步骤包括： 3. **多步迭代**: - 通过三层循环，首先初始化每个节点到自身的最短距离为0，前驱节点为自身。 - 对于每个中间节点k，检查是否存在更短的路径，如果存在，则更新目标节点i到j的最短距离`D[i][j]`，并将前驱节点更新为中间节点k。 - 不论何时遇到不可达节点（`D[i][k]==infinity`），算法跳过该节点的更新。 4. **注意事项**: - 同样强调非相邻节点的权重设置为无穷大，边权不能为负值，以及不使用数组对角线元素。 这两个算法都是图论中的基础工具，理解和掌握它们对于处理实际的路径优化问题至关重要。在MATLAB中实现这些算法，可以应用于实时计算网络流量最佳路径或机器人路径规划等场景，提高效率和准确性。