使用LINGO解决二次规划(QP)问题详解

"这篇资源是关于使用LINGO 13解决二次规划（QP）问题的教程，由清华大学数学科学系的谢金星教授讲解。它介绍了如何利用LINDO/LINGO软件解决优化模型，特别是二次规划问题。LINDO系统公司的产品包括LINDO和LINGO，它们支持多种类型的优化模型，如线性规划、非线性规划、二次规划以及整数规划等。在解决QP问题时，LINDO/LINGO需要将非线性表达式转化为互补问题，并通过添加LAGRANGE乘子和一阶最优条件来处理约束。此外，资源还指出对QP和IP进行敏感性分析的意义相对较小。" 正文: 二次规划（Quadratic Programming, QP）是一种数学优化方法，其中目标函数是决策变量的二次函数，而约束条件可以是线性的。在LINDO软件中解决QP问题需要特殊处理，因为LINDO不直接支持非线性表达式。为了解决这个问题，用户需要按照以下步骤操作： 1. **引入LAGRANGE乘子**：每个实际约束需要一个LAGRANGE乘子，这是优化理论中的一个重要概念，用于表示约束的松紧程度。 2. **构建互补问题**：在实际约束前添加与变量相关的一阶最优条件，这使得问题能够转换为互补形式，从而适应LINDO的线性化处理。 3. **使用QCP命令**：在"END"之后，需要指定实际约束开始的行号，这样LINDO才能识别并正确处理这些非线性约束。 4. **建议使用LINGO**：尽管LINDO可以解决QP问题，但鉴于其输入的复杂性，推荐使用LINGO软件，它可能提供更方便的接口和工具来处理此类问题。 LINDO和LINGO是LINDO Systems公司开发的优化软件，它们在数学规划领域广泛应用。LINDO主要针对线性交互和离散优化问题，而LINGO则支持更广泛的优化模型，包括线性、非线性和连续优化，以及整数规划。这两款软件均包含预处理程序、线性优化求解器、非线性优化求解器和分枝定界管理程序，以解决不同类型的优化问题。 在解决过程中，LINDO/LINGO会首先对模型进行预处理，确定常数并识别变量类型，然后通过相应的优化算法（如单纯形法）求解线性部分，对于非线性部分则有专门的求解程序处理。对于整数规划，特别是混合整数规划，它们使用分枝定界策略来找到全局最优解。 然而，资源中提到对于QP和IP问题，敏感性分析的价值相对较小。敏感性分析通常用于线性规划，它研究当模型参数变化时，解的稳定性。对于QP和IP，由于目标函数和约束可能是非线性的，其解的响应可能更加复杂，因此敏感性分析可能不如线性规划那样直观和有用。 这个资源提供了关于使用LINGO 13解决二次规划问题的指导，强调了转换问题格式的重要性，同时也介绍了LINDO/LINGO软件在优化模型解决方面的广泛能力。