信息论基础：Claude Shannon与信息熵

"信息科学基础教程，由北京邮电大学出版社出版，内容涵盖信息论的基础知识，包括信息的概念、信息的度量、信源与信息熵、信道及信道容量、无失真信源编码、有噪信道编码以及限失真信源编码等核心概念。教程特别强调了Claude Shannon的贡献，他于1948年提出的‘信息论的数学理论’标志着这一学科的诞生，并引入了信息熵这一关键概念。" 在信息科学中，信息被定义为事物运动状态或存在方式的不确定性。这一不确定性可以通过概率论来量化。Claude Shannon在其开创性论文中，将信息与随机事件的数学分析相结合，提出了信息熵的概念，这是衡量信息量的一个基本工具。Hartley早于1928年提出用消息可能值的对数来度量信息，但Shannon的贡献在于将负对数概率定义为消息的自信息，即消息i出现的不确定性。 自信息\( I(x_i) = -\log(p(x_i)) \)反映了消息\( x_i \)出现的不确定性，其中\( p(x_i) \)是消息\( x_i \)出现的概率。较大的自信息值表示消息更不可能出现，因此包含更多的信息。信源熵则是所有可能消息的自信息的期望值，它代表了信源的平均不确定性或平均信息量。信息熵公式为\( H(X) = -\sum_{i=1}^{q} p(x_i) \log(p(x_i)) \)，其中\( q \)是信源消息的种类数量。 信源熵是衡量信源输出消息不确定性的度量，而信息传输的目标就是尽可能减少这种不确定性。在通信过程中，通过编码和解码，收信者可以从接收到的信号中提取出信息，消除信源的不确定性，从而获取信息。信息论不仅关注信息的度量，还研究如何有效地编码和传输信息，以确保在有噪声的信道中实现可靠通信。 在信源编码方面，无失真编码致力于在不损失信息的情况下压缩数据，而有限失真编码则允许一定程度的失真，以换取更高的压缩效率。在有噪信道编码中，如香农信道容量定理指出，存在一种编码方式，使得在任意小的错误率下，数据可以在有噪声的信道上进行无限长的传输。这些都是信息科学中的核心理论，为现代通信技术提供了坚实的理论基础。