R^n中Liouville定理的新证明：涉及拟正则映射与Möbius变换

"这篇文章是2000年4月发表在《北方交通大学学报》的一篇自然科学论文，由郑神州和郑学良合作撰写。主要探讨了Liouville定理的一个不同证明方法，涉及Sobolev类映射、拟正则映射、Cauchy-Riemann方程组以及Möbius变换等相关概念。" Liouville定理在微分几何和复分析领域中占有重要地位，它通常表述为：在欧几里得空间中，如果一个全纯函数（即满足Cauchy-Riemann方程的函数）在整个空间是有限的，则该函数必须是常数。这篇论文提出了一种新的证明方法，将焦点放在了Sobolev类映射的框架下，特别是针对拟正则映射的讨论。 Sobolev类映射，记作W^{1,n}_{loc}(Ω, R^n)，是具有局部L^n强导数的函数集合，其中Ω是R^n中的开子集。在本文中，作者考虑的是那些在Ω上的一拟正则映射，这类映射在局部类似于全纯函数，但允许出现分支点。作者证明了这样的映射要么是常数，要么可以表示为R^n中的Möbius变换在Ω上的限制。 Möbius变换是复分析中的一个重要概念，它们是复平面内的双全纯映射，形式上由幂级数定义。这些变换保持圆和直线的性质，对于理解复流形的结构和复分析问题有深远影响。在更高维度的R^n中，类似的变换群被称为保距变换，它们保持空间的度量不变。 论文指出，当空间维度n为偶数时，可以进一步放宽映射f的正则性假设，只需要f属于W^{1,n/2}_{loc}(Ω, R^n)。这是因为在偶维数下，某些积分估计和嵌入定理允许更弱的正则性条件。 关键词中的"ρ和q调和映射对"可能是指一类特殊的映射，它们在解某些偏微分方程（如拉普拉斯方程）时同时满足ρ和q的调和条件，这与映射的正则性和能量估计有关。 这篇论文提供了一个关于Liouville定理的新视角，通过研究Sobolev类映射和Möbius变换，扩展了我们对复分析和微分几何的理解，特别是在处理高维空间中的拟正则映射时的正则性问题。这对于理论研究和应用都有重要意义，例如在几何分析、偏微分方程等领域。