离散LTI系统分析：差分方程与稳定性判断

"西电本科生信号与系统课后习题册，含答案，共30页" 在《写出输入输出之间的差分方程-isoiec13818-1-2018》这个主题中，我们关注的是信号处理中的离散线性时不变（LTI）系统的分析。LTI系统是数字信号处理中的基础概念，它遵循线性性和时间不变性的原则，即系统对任意信号的加权和以及延迟的响应与原始信号的响应相同。 在描述LTI系统的动态行为时，通常使用差分方程。差分方程是一类数学方程，它包含未知函数及其导数或差分。对于离散系统，这些通常是向前或向后的差分。题目要求写出输入与输出之间的差分方程，这是为了揭示系统内部的数学关系，以便分析其特性，如稳定性、频率响应等。 例如，在图7-6所示的信号流图中，我们可以利用Z变换方法来求解系统函数H(z)，这是一个在离散时间域内表示系统响应的复数函数。Z变换是将离散时间序列转换到Z域的工具，它可以用来简化差分方程的求解。一旦得到H(z)，我们可以从中推导出差分方程。 接下来，题目要求判断该系统是否稳定。稳定性是LTI系统的一个关键属性，可以通过分析系统函数的极点位置来判断。如果所有极点都在单位圆内，那么系统是稳定的。否则，如果极点位于单位圆外，则系统不稳定。 此外，题目还提到求解系统的稳态响应，这通常涉及到频率响应。对于给定的激励cos(3t)，可以将其Z变换为对应的Z域表示，然后乘以系统函数H(z)，再进行Z反变换得到时域的稳态响应。这里的H(jω)是系统函数在频域的表示，它给出了系统对不同频率成分的响应。 总结来说，这个习题册中的问题涵盖了信号与系统课程的核心概念，包括离散LTI系统的描述、系统函数的求解、差分方程的建立以及系统的稳定性分析。通过解答这些问题，学生可以深入理解信号处理的基础理论，并提升在实际问题中的应用能力。