最小二乘解法：G-S与平方根法在曲线拟合中的应用

本资源主要讲解了线性最小二乘问题在数据分析和曲线拟合中的应用，以及求解极小最小二乘解的方法。首先，最小二乘问题通常涉及已知函数在多个点上的数据，目标是找到函数族中的一组参数，使得这些参数的函数与数据点之间的误差平方和最小。这被称为最小二乘准则，适用于各种实际场景，如多项式插值。 对于给定的线性模型，如果数据集有m个点，而需要拟合的函数是线性组合的，即\( f(x) = \sum_{i=1}^{n}\alpha_i g_i(x) \)，其中\( \{g_i\} \)是一组线性无关的基函数。当\( m \geq n \)时，这属于满定（或一致）方程组，可以通过求解系数矩阵\( A \)的最小二乘解来得到最佳拟合参数\( \alpha \)。 若\( m < n \)，即数据不足，导致方程组超定，此时求解方法可能采用高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法或平方根法。关键步骤包括正交分解，将原问题转化为求解矩阵的导出矩阵\( QR \)分解后的矩阵形式，即\( A = QR \)，其中\( Q \)是列正交矩阵，\( R \)是上三角矩阵。最小二乘解可以表示为\( x = QR^{\dagger}b \)，其中\( R^{\dagger} \)是\( R \)的伪逆，用于避免直接求逆带来的数值稳定性问题。 在特殊情况下，如果\( r = n \)，即线性方程组的秩等于未知数的个数，那么可以通过直接求逆找到解。而多项式插值是特殊形式的最小二乘问题，通过在给定点上构造一个多项式，使它在这些点的值等于对应的数据点值。 曲线拟合的实际应用示例如下：考虑一种纤维的强度与其拉伸倍数的关系，通过24个样本数据，使用最小二乘方法找出强度与拉伸倍数之间的线性或多项式关系，以便于预测或理解纤维性能的规律。拟合过程中，重点是找到一条曲线，既能大致跟踪数据的整体趋势，又能减小误差，即使这条曲线不完全通过每一个数据点。 总结来说，这个资源深入讲解了最小二乘法在解决实际问题中的核心概念和求解策略，对于从事数据分析、工程设计或者科研工作的人员来说，理解和掌握这一方法是非常重要的。