线性代数习题解析：向量组秩、内积与矩阵性质

"本资源为线性代数的练习题解析，涵盖了向量组的秩、n维向量空间、向量的内积与正交矩阵等知识点，包含判断题、填空题和解答题，适合学生自我检测或复习使用。" 在本线性代数的练习题目中，涉及了以下几个核心知识点： 1. **向量组的秩**：向量组的秩是指向量组中最大线性无关组的元素个数。例如，判断题指出，如果一个向量组线性相关，那么对于任意一组不全为零的数，这些向量的线性组合可以为零；反之，向量组线性无关的充要条件是其秩等于向量的数量。 2. **n维向量空间**：在n维向量空间中，如果向量个数大于n+1，它们一定是线性相关的，这是由于维数原理。填空题问及了向量组的秩，比如一个向量组的秩等于其非零行（或列）的最大数目。 3. **正交矩阵**：正交矩阵是其列向量（或行向量）两两正交且长度为1的方阵。题目要求使用施密特正交化方法将一组向量正交化、规范化，这是求解正交基的一种方法。 4. **矩阵的秩与伴随矩阵**：题目中提到，如果四阶方阵A的秩为2，其伴随矩阵\( A^* \)的秩也为2，因为秩小于3的方阵的伴随矩阵秩等于原矩阵的秩。 5. **矩阵乘法与秩的关系**：如果矩阵A是r阶的，矩阵B是\( n \times r \)的，且\( AB \)的秩为r，那么B的列向量是线性无关的，因此A也是满秩的，即\( A = O \)。 6. **向量的内积**：向量的内积是衡量向量之间关系的重要工具，题目要求验证一组向量是否构成R^3的空间基，并计算一个特定向量在这个基下的坐标。 7. **线性方程组**：线性方程组的解空间与系数矩阵密切相关，填空题询问了当存在非零矩阵B使得\( AB = 0 \)时，系数矩阵的特征值t的值，以及一个方程组的基础解系对应的系数矩阵。 这些题目覆盖了线性代数的基础概念和重要性质，通过解答这些问题，学生能够深入理解向量空间、矩阵的秩、正交矩阵、线性方程组等关键概念。