MATLAB多项式拟合与插值教程：最小二乘法解析

"MATLAB经典基础教程2 - 多项式拟合和插值" 在MATLAB中，多项式拟合和插值是数值计算的重要部分，尤其在数据分析和建模时非常常见。本教程主要围绕2.4.3节中的多项式拟合展开，讲解如何利用MATLAB进行数据处理。 **多项式拟合** 多项式拟合是一种通过构建多阶多项式函数来逼近数据点的方法，目的是找到一条最能描述给定数据趋势的曲线。在MATLAB中，`polyfit`函数用于执行这个任务。它基于最小二乘法准则，寻找一个n阶多项式函数p，使得函数值与数据点之间的残差平方和最小。表达式如下： \[ \sum_{i=1}^{N}(y_i - p(x_i))^2 \] 其中，\( x_i \)和\( y_i \)是数据点，\( p(x) \)是拟合的多项式，N是数据点的数量。 `polyfit`函数的调用格式为： ```matlab p = polyfit(x, y, n) ``` 这里的x和y是对应的数据点，n是多项式的阶数。例如，若要进行一阶、二阶和三阶拟合，只需改变n的值即可。 **一阶拟合曲线** 一阶拟合通常对应于线性拟合，形式为 \( y = ax + b \)，其中a和b是待求的斜率和截距。通过`polyfit(x, y, 1)`可以得到这两个参数。 **二阶拟合曲线** 二阶拟合曲线则是一个二次多项式，形式为 \( y = ax^2 + bx + c \)。使用`polyfit(x, y, 2)`可以得到a, b和c的值。 **三阶拟合曲线** 三阶拟合涉及三次多项式，如 \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \)，同样可以通过`polyfit(x, y, 3)`来实现。 **数值计算在MATLAB中的其他概念** - **变量和数据**：MATLAB支持多种数据类型，如整型、浮点型、字符型和逻辑型。数值可以采用十进制或科学计数法表示，并具有特定的表示范围。 - **矩阵和数组**：MATLAB以矩阵为基础，包括标量、向量、矩阵和多维数组。向量是一维的，而矩阵是二维的，数组可以是任意维度。 - **稀疏矩阵**：当数据集中大部分元素为零时，稀疏矩阵可以节省存储空间和计算时间。 - **元胞数组和结构数组**：这两种高级数据结构分别用于存储不同类型的数据和包含复杂结构的数据。 - **数据分析**：MATLAB提供了丰富的工具和函数，用于数据的统计分析、可视化和处理。 通过这些基础概念，我们可以更好地理解和应用MATLAB进行多项式拟合和插值，从而在实际问题中有效地分析和预测数据趋势。