经典算法研究集锦：15项核心技术详解

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"《十五个经典算法研究与总结》是一本由July于2010年12月至2011年12月期间创作的系列文章，旨在深入探讨和实践A*搜索算法、Dijkstra算法、动态规划、BFS/DFS搜索、红黑树、KMP算法、遗传算法、启发式搜索、SIFT特征提取、傅立叶变换、哈希算法、快速排序、SPFA算法和快递选择SELECT算法等15个计算机科学中的基础经典算法。作者通过这些文章不仅阐述了理论原理，还提供了详细的编程实现，使读者能够系统地理解和掌握这些算法。作者在博客上分享了他的学习历程，从整理微软面试题开始，然后转向了这些经典算法的研究。系列文章中，Dijkstra算法是一个重点，被扩展为四个部分，详细介绍了其概念、优化和实现技术。红黑树更是被深度剖析，形成了国内最为详尽的教程，共计6篇文章。此外，KMP算法也通过三个部分的深入讲解，包括了其核心原理以及与BM算法的关系。该系列文章不仅适合计算机专业学生和从业者学习，也对那些希望通过实战项目提升算法技能的开发者具有很高的参考价值。作者鼓励读者在阅读过程中提出问题和反馈，以便不断改进和完善。整个系列共计31篇文章，构成了一本丰富的算法学习指南，涵盖了从入门到进阶的全面内容，是算法研究者的宝贵资料库。"

1. A* (使用曼哈顿距离)

2. A*(采用欧氏距离)

A*搜寻算法的高效之处

如上，是不是对 A*、Dijkstra、双向 BFS 算法各自的性能有了个总体大概的印象列?由

上述演示，我们可以看出，在最短路径搜寻效率上，一般有 A*>Dijkstra、双向 BFS，其中

Dijkstra、双向 BFS 到底哪个算法更优，还得看具体情况。

由上，我们也可以看出，A*搜寻算法的确是一种比较高效的寻路算法。

A*算法最为核心的过程，就在每次选择下一个当前搜索点时，是从所有已探知的但未

搜索过点中(可能是不同层，亦可不在同一条支路上)，选取 f 值最小的结点进行展开。

而所有“已探知的但未搜索过点”可以通过一个按 f 值升序的队列(即优先队列)进行排

列。

这样，在整体的搜索过程中，只要按照类似广度优先的算法框架，从优先队列中弹出队

首元素（f 值），对其可能子结点计算 g、h 和 f 值，直到优先队列为空(无解)或找到终止点

为止。

A*算法与广度、深度优先和 Dijkstra 算法的联系就在于：当 g(n)=0 时，该算法类似于

DFS，当 h(n)=0 时，该算法类似于 BFS。且同时，如果 h(n)为 0，只需求出 g(n)，即求出起

点到任意顶点 n 的最短路径，则转化为单源最短路径问题，即 Dijkstra 算法。这一点，可以

通过上面的 A*搜索树的具体过程中将 h(n)设为 0 或将 g(n)设为 0 而得到。

BFS、DFS 与 A*搜寻算法的比较

参考了算法驿站上的部分内容：

不管以下论述哪一种搜索，都统一用这样的形式表示：搜索的对象是一个图，它面向一

个问题，不一定有明确的存储形式，但它里面的一个结点都有可能是一个解（可行解），搜

索的目的有两个方面，或者求可行解，或者从可行解集中求最优解。

我们用两张表来进行搜索，一个叫 OPEN 表，表示那些已经展开但还没有访问的结点

集，另一个叫 CLOSE 表，表示那些已经访问的结点集。

蛮力搜索（BFS，DFS）

BFS（Breadth-First-Search 宽度优先搜索）

首先将起始结点放入 OPEN 表，CLOSE 表置空，算法开始时：

1、如果 OPEN 表不为空，从表中开始取一个结点 S，如果为空算法失败

2、S 是目标解吗？是，找到一个解（继续寻找，或终止算法）；不是到 3

3、将 S 的所有后继结点展开，就是从 S 可以直接关联的结点（子结点），如果不在 CLOSE

表中，就将它们放入 OPEN 表末尾，而把 S 放入 CLOSE 表，重复算法到 1。

DFS（Depth-First-Search 深度优先搜索）

首先将起始结点放入 OPEN 表，CLOSE 表置空，算法开始时：

1、如果 OPEN 表不为空，从表中开始取一个结点 S，如果为空算法失败

2、S 是目标解吗？是，找到一个解（继续寻找，或终止算法）；不是到 3

3、将 S 的所有后继结点展开，就是从 S 可以直接关联的结点（子结点），如果不在 CLOSE

表中，就将它们放入 OPEN 表开始，而把 S 放入 CLOSE 表，重复算法到 1。

是否有看出：上述的 BFS 和 DFS 有什么不同？

仔细观察 OPEN 表中待访问的结点的组织形式，BFS 是从表头取结点，从表尾添加结

点，也就是说 OPEN 表是一个队列，是的，BFS 首先让你想到‘队列’；而 DFS，它是从

OPEN 表头取结点，也从表头添加结点，也就是说 OPEN 表是一个栈！

DFS 用到了栈，所以有一个很好的实现方法，那就是递归，系统栈是计算机程序中极

重要的部分之一。用递归也有个好处就是，在系统栈中只需要存结点最大深度那么大的空间，

也就是在展开一个结点的后续结点时可以不用一次全部展开，用一些环境变量记录当前的状

态，在递归调用结束后继续展开。

利用系统栈实现的 DFS

函数 dfs(结点 s)

{

s 超过最大深度了吗？是：相应处理，返回；

s 是目标结点吗？是：相应处理；否则：

{

s 放入 CLOSE 表；

for(c=s.第一个子结点；c 不为空；c=c.下一个子结点() )

if(c 不在 CLOSE 表中)

dfs(c)；递归

}

如果指定最大搜索深度为 n，那系统栈最多使用 n 个单位，它相当于有状态指示的 OPEN

表，状态就是 c，在栈里存了前面搜索时的中间变量 c，在后面的递归结束后，c 继续后移。

在象棋等棋类程序中，就是用这样的 DFS 的基本模式搜索棋局局面树的，因为如果用 OPEN

表，有可能还没完成搜索 OPEN 表就暴满了，这是难于控制的情况。

我们说 DFS 和 BFS 都是蛮力搜索，因为它们在搜索到一个结点时，在展开它的后续结

点时，是对它们没有任何‘认识’的，它认为它的孩子们都是一样的‘优秀’，但事实并非

如此，后续结点是有好有坏的。好，就是说它离目标结点‘近’，如果优先处理它，就会更

快的找到目标结点，从而整体上提高搜索性能。

启发式搜索

为了改善上面的算法，我们需要对展开后续结点时对子结点有所了解，这里需要一个估

值函数，估值函数就是评价函数，它用来评价子结点的好坏，因为准确评价是不可能的，所

以称为估值。打个比方，估值函数就像一台显微镜，一双‘慧眼’，它能分辨出看上去一样

的孩子们的手，哪个很脏，有细菌，哪个没有，很干净，然后对那些干净的孩子进行奖励。

这里相当于是需要‘排序’，排序是要有代价的，而花时间做这样的工作会不会对整体搜索

效率有所帮助呢，这完全取决于估值函数。

排序，怎么排？用哪一个？快排吧，qsort！不一定，要看要排多少结点，如果很少，简

单排序法就很 OK 了。看具体情况了。

排序可能是对 OPEN 表整体进行排序，也可以是对后续展开的子结点排序，排序的目

的就是要使程序有启发性，更快的搜出目标解。

如果估值函数只考虑结点的某种性能上的价值，而不考虑深度，比较有名的就是有序搜

索（Ordered-Search），它着重看好能否找出解，而不看解离起始结点的距离（深度）。

如果估值函数考虑了深度，或者是带权距离（从起始结点到目标结点的距离加权和），

那就是 A*，举个问题例子，八数码问题，如果不考虑深度，就是说不要求最少步数，移动

一步就相当于向后多展开一层结点，深度多算一层，如果要求最少步数，那就需要用 A*。

简单的来说 A*就是将估值函数分成两个部分，一个部分是路径价值，另一个部分是一

般性启发价值，合在一起算估整个结点的价值。

从 A*的角度看前面的搜索方法，如果路径价值为 0 就是有序搜索，如果路径价值就用

所在结点到起始结点的距离（深度）表示，而启发值为 0，那就是 BFS 或者 DFS，它们两

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