无约束优化解题：Wolfe-Powell准则与Goldstein准则分析

"无约束优化习题解答，Goldstein准则，非精确一维搜索算法，Wolfe-Powell准则，牛顿迭代法" 本资源主要涵盖了无约束优化问题的几个关键知识点，包括基于Goldstein准则的非精确一维搜索算法的全局收敛性证明，Wolfe-Powell准则下的插值多项式表达式，以及牛顿迭代法在最优化问题中的应用。 首先，我们讨论Exercise1，这是关于基于Wolfe-Powell准则的非精确一维搜索算法的。在这个问题中，构建了插值多项式p(1)(t)和p(2)(t)来逼近函数的行为。p(1)(t)是一个二次多项式，满足在a1处的值和导数值条件，而p(2)(t)是一个一次多项式，满足在a1和↵处的导数值条件。通过这些条件，我们可以求解出多项式的系数，从而得到具体的表达式。 Exercise2探讨的是Goldstein准则的全局收敛性。Goldstein准则是一种在一维搜索中决定步长的准则，它包括两个条件：(1) 找到的步长使得函数值下降的速度至少等于其一阶导数的正部分；(2) 函数值的下降速度不超过一阶导数的负部分与初始下降速度的线性组合。在这个证明中，采用了反证法，假设存在一个子序列使得准则不成立，然后通过分析函数值的改变和步长的关系，推导出矛盾，从而证明了算法的全局收敛性。 Exercise3涉及的是牛顿迭代法在最优化问题中的应用。牛顿法通常用于求解非线性方程组，但在最优化问题中，目标是最小化一个函数f(x)。牛顿迭代的原理是利用泰勒级数展开，近似函数f(x)在当前点x(k)处的切线，令切线的斜率为0，以求得下一个迭代点x(k+1)。这样做是因为切线的根可以视为函数局部最小值的一个良好近似。在迭代公式中，通常会包含函数值和导数的信息，以寻找使函数值下降最快的方向。 这些习题解答深入地阐述了无约束优化中的关键算法和理论，对于理解优化算法的细节及其收敛性质具有重要的学习价值。无论是Goldstein准则还是Wolfe-Powell准则，都是优化算法中常用的步长选择策略，而牛顿迭代则是解决最优化问题的重要工具之一。通过这样的练习，读者可以增强对这些概念的理解，并能够应用到实际的优化问题中去。