线性代数作业答案：正定矩阵与二次型性质

"本次作业涉及线性代数中的相似与二次型相关问题，包括实对称矩阵的性质、正定矩阵的判定以及二次型的正定性和负定性的判断。" 在数学的线性代数领域，实对称矩阵具有特殊的性质。题目中的第二问指出，如果一个n阶实对称矩阵A满足条件 3 2 3 5 3     A A A E O，需要证明A是正定矩阵。正定矩阵的定义是所有特征值都为正的对称矩阵。通过计算特征值，我们发现A的特征值都是大于0的，因此A是正定的。 第三问涉及到正定矩阵的性质。如果A是正定矩阵，那么它的转置（T）和共轭转置（*）也是正定的。证明中提到，由于A正定，所以其特征值全为正，而A的转置和共轭转置的特征值与A的特征值有关，所以它们也都是正的，进而得出结论。 第四问和第五问是对二次型的正定性和负定性的判断。二次型的正定性可以通过顺序主子式进行检验，如果所有顺序主子式都大于0，则二次型为正定；反之，如果有小于0的顺序主子式，则为负定。第四问的二次型通过计算顺序主子式，所有子式都大于0，所以它是正定的。而在第五问中，计算顺序主子式后发现有一个子式小于0，因此该二次型为负定。 第六问没有给出完整的命题，但通常这类问题会涉及矩阵的性质，如可对角化、正交相似等，或者是关于特征值和二次型的其他特性。解答这类问题通常需要对矩阵理论和线性变换有深入的理解。 这个作业涵盖了线性代数中的关键概念，包括实对称矩阵的性质、正定矩阵的判定以及二次型的性质。这些知识点是线性代数课程的核心内容，对于理解和应用线性代数在工程、物理、计算机科学等领域都有着重要的作用。