线性代数作业答案:正定矩阵与二次型性质
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更新于2024-08-05
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"本次作业涉及线性代数中的相似与二次型相关问题,包括实对称矩阵的性质、正定矩阵的判定以及二次型的正定性和负定性的判断。"
在数学的线性代数领域,实对称矩阵具有特殊的性质。题目中的第二问指出,如果一个n阶实对称矩阵A满足条件
3
2
3
5
3
A
A
A
E
O,需要证明A是正定矩阵。正定矩阵的定义是所有特征值都为正的对称矩阵。通过计算特征值,我们发现A的特征值都是大于0的,因此A是正定的。
第三问涉及到正定矩阵的性质。如果A是正定矩阵,那么它的转置(T)和共轭转置(*)也是正定的。证明中提到,由于A正定,所以其特征值全为正,而A的转置和共轭转置的特征值与A的特征值有关,所以它们也都是正的,进而得出结论。
第四问和第五问是对二次型的正定性和负定性的判断。二次型的正定性可以通过顺序主子式进行检验,如果所有顺序主子式都大于0,则二次型为正定;反之,如果有小于0的顺序主子式,则为负定。第四问的二次型通过计算顺序主子式,所有子式都大于0,所以它是正定的。而在第五问中,计算顺序主子式后发现有一个子式小于0,因此该二次型为负定。
第六问没有给出完整的命题,但通常这类问题会涉及矩阵的性质,如可对角化、正交相似等,或者是关于特征值和二次型的其他特性。解答这类问题通常需要对矩阵理论和线性变换有深入的理解。
这个作业涵盖了线性代数中的关键概念,包括实对称矩阵的性质、正定矩阵的判定以及二次型的性质。这些知识点是线性代数课程的核心内容,对于理解和应用线性代数在工程、物理、计算机科学等领域都有着重要的作用。
2022-08-04 上传
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2021-10-05 上传
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