"二由系统的差分方程或模拟图列写状态方程-信号与系统(刘泉)第7章 系统的状态变量分析法"
在信号与系统的学习中,状态变量分析法是一种重要的系统分析工具,尤其适用于处理多输入-输出系统以及非线性、时变系统的问题。状态变量法的核心是定义合适的状态变量,并建立相应的状态方程。状态变量描述了系统过去、现在和将来的完整状况,它们是描述系统内部动态行为所需的最小一组变量。
对于连续时间系统,状态方程通常是一组一阶微分方程,形式为:
\[ \dot{x}(t) = A x(t) + B u(t) \]
其中,\( \dot{x}(t) \) 是状态向量关于时间的导数,\( x(t) \) 是状态变量向量,\( A \) 是状态矩阵,\( B \) 是输入矩阵,\( u(t) \) 是输入向量。通过求解这些微分方程,我们可以得到系统的动态响应。
在离散时间系统中,状态方程则为差分方程:
\[ x[k+1] = A x[k] + B u[k] \]
其中,\( x[k] \) 是在时间步 \( k \) 的状态向量,\( A \) 和 \( B \) 分别是离散时间的状态矩阵和输入矩阵,\( u[k] \) 是在时间步 \( k \) 的输入向量。
例如,考虑一个包含电感 \( L \),电容 \( C \) 和电阻 \( R \) 的电路,如描述中所示。在这种情况下,可以选取电感电流 \( i_L(t) \) 和电容电压 \( u_C(t) \) 或者电感中的磁场能量 \( q(t) \) 和电容电压 \( u_C(t) \) 作为状态变量。根据基尔霍夫定律和法拉第电磁感应定律,可以列出对应的微分方程,从而得到状态方程。
经典方法如时域法和拉普拉斯变换法在处理线性定常系统时有效,尤其是对于单输入单输出系统。然而,它们有局限性,如不适用于非线性系统或要求最优性能的系统。而状态变量法的优势在于它能够更全面地描述系统的动态行为,且便于计算机求解,因此在现代控制系统设计和分析中占据重要地位。
在选择状态变量时,应确保状态变量的个数等于系统中储能元件的数量,对于线性定常系统,通常是电感和电容的数目。然而,对于病态网络(即含有纯电感或纯电容的网络),状态变量的数目可能需要根据系统特性进行调整。
总结来说,本章"系统的状态变量分析法"主要讨论如何从系统的差分方程或模拟图中提取出状态变量,并建立相应的状态方程。这种方法对于理解和分析复杂系统的动态行为至关重要,特别是在工程和科学研究领域,尤其是在自动化、通信和控制理论中。