数值分析作业：二分法解非线性方程

"武理数值分析大作业是一个包含10个问题的期末作业，涉及到数值计算和数值分析的内容。作业中详细介绍了二分法的原理和实现，包括如何利用MATLAB编写二分法程序，并提供了若干习题进行实践，要求解出给定区间内的方程根，精确度达到0.00001。" 二分法是一种经典的数值方法，用于求解连续函数在给定区间内的零点。这种方法基于以下原理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a) * f(b) < 0，那么存在至少一个c属于(a, b)，使得f(c) = 0。二分法通过不断将有根区间对半分割，逐步逼近零点。在每次迭代中，计算区间中点的函数值，根据中点函数值的符号改变来确定新区间。迭代继续，直到找到满足预定精度要求的根。 在MATLAB中，可以编写如下的二分法函数，用于求解非线性方程f(x) = 0： ```matlab function [x_star, k] = bisect0(fun, a, b, ep) % 输入参数：fun - 需要求解的函数，a, b - 初始区间，ep - 精度 if nargin < 4 ep = 1e-5; % 默认精度 end fa = feval(fun, a); fb = feval(fun, b); if fa * fb > 0 x_star = [fa, fb]; % 区间无根 k = 0; return; end k = 1; while abs(b - a) / 2 > ep x = (a + b) / 2; fx = feval(fun, x); if fx * fa < 0 b = x; fb = fx; else a = x; fa = fx; end k = k + 1; end x_star = (a + b) / 2; % 得到的根 end ``` 在实际应用中，为了满足特定精度要求，如0.00001，可以预估所需的二分次数。例如，如果初始区间长度为L，每次二分后区间长度减半，那么经过n次二分后，区间长度为L / (2^n)。因此，可以通过公式n = log2(L/ep)计算需要的二分次数。 作业中的习题要求用二分法求解不同区间内的方程根，例如在(3, 4)内求解方程的根，精确到0.00001。通过调用上述的`bisect0`函数并传入相应的参数，可以得到所需的解。例如，对于方程(1)的解，经过17次迭代后，得到的根约为3.63198。 同样地，其他习题如(2)、(3)、(4)、(5)和(6)分别对应不同的方程和区间，通过类似的过程，可以计算出它们的正根，确保误差小于0.00001。 总结来说，这个数值分析大作业涵盖了二分法的理论与实践，通过MATLAB编程实现，以及具体习题的解答，全面地展示了数值求解连续函数零点的方法，是学习数值分析和数值计算的重要实践练习。