微分几何期末复习：判断、填空及解答题集

"这是一份来自浙江师范大学的《微分几何》期末复习习题，包含了判断题、填空题、完成题目等多种类型的考题，旨在帮助学生复习微分几何的重要概念和公式，如曲率、挠率、保角变换、高斯曲率等。" 微分几何是数学中的一个重要分支，它研究的是流形（如曲线和曲面）的局部性质。这份习题集主要涉及以下几个知识点： 1. 曲率与挠率：曲率是衡量曲线弯曲程度的量，挠率则是衡量曲线变化快慢的量。例如，椭圆的曲率为1，挠率为0，表明椭圆是一种特别的曲线。贝特朗曲线是一类特殊的曲线，其曲率是常数，但并非所有常曲率曲线都是贝特朗曲线。 2. 内蕴量与外蕴量：高斯曲率是曲面上的内蕴量，只依赖于曲面本身的几何结构，不随坐标选择改变。曲面上的高斯曲率可以提供关于曲面是否可展（即能否平铺在平面上而不产生重叠或空隙）的信息。 3. 保角变换：曲面之间的变换若保持角度不变，即第一基本形式相同，被称为保角变换。这在几何映射中是非常重要的概念。 4. 曲线的基本性质：例如，曲率恒等于0的曲线是直线，挠率恒等于零的曲线是平面曲线，而圆的曲率和挠率特征分别为1和0。 5. 测地线：曲面上非直线的曲线是测地线的充要条件是除了曲率为零的点以外，曲线的主法线重合于曲面的法线。测地线是曲面上两点间最短路径，是微分几何中的核心概念。 6. 第一基本形式与曲面性质：第一基本形式由曲面上曲线的参数方程定义，它可以用来计算曲线的长度、曲面的面积等。例如，题目中提到的I=2du^2+6dudv+3dv^2，若不能作为曲面的第一基本形式，可能是因为它不符合曲面的几何特性。 7. 自然参数方程：自然参数方程是指曲线的参数化方式，使得曲线的速度向量的长度为常数，这有助于简化曲线的分析。 8. 高斯曲率与平均曲率：高斯曲率反映了曲面在某点处的局部弯曲情况，平均曲率是高斯曲率和曲面上曲线长度的调和平均。例如，曲面z=axy在点x=y=0处的高斯曲率和平均曲率需要通过曲面的第一和第二基本形式来计算。 这些习题涵盖了微分几何的基础理论和应用，对于理解和掌握微分几何的原理至关重要。通过解答这些题目，学生可以检验自己的理解程度，进一步巩固微分几何的关键概念。