2011考研数学一真题详解：选择与填空题部分

"2011考研数一真题及解析1" 这是一份2011年的全国硕士研究生入学统一考试数学一科目的真题，包含选择题和填空题。选择题部分涵盖了解析几何、数列极限、微积分、级数收敛性以及线性代数等多个知识点。 1. 曲线的拐点问题：题目中提到的曲线方程为 \( y = x^2 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{5}x^5 \)，要求找拐点。拐点是指曲线上某点处的一阶导数为零且二阶导数不为零的点。通过求导分析可以确定拐点的坐标。 2. 幂级数的收敛域：根据数列\( a_n \)的性质，它是单调减少并趋近于0的，可以推断出幂级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{a_n}{n}x^n \) 的收敛性。根据比值判别法或根值判别法，可以确定幂级数的收敛域。 3. 极值问题：题目中考察的是函数 \( z = \ln(f(x)y) \) 在原点 (0,0) 处的极值情况。利用二阶偏导数测试，要求 \( f(0) > 0 \)，\( f_x'(0) = 0 \)，并且 \( f_{xx}(0)f_{yy}(0) - [f_{xy}(0)]^2 < 0 \) 以确定极小值的存在。 4. 定积分比较：题目给出了三个定积分 \( I = \int_0^{4\pi} \ln(\sin x) dx \)，\( J = \int_0^{4\pi} \ln(\cot x) dx \)，\( K = \int_0^{4\pi} \ln(\cos x) dx \)，要求比较它们的大小。可以通过分析被积函数在区间内的正负性来判断积分值的大小。 5. 矩阵变换：这个问题涉及矩阵的初等变换，首先将A的第二列加到第一列得到矩阵B，然后交换B的第二行与第三行得到单位矩阵。这里用到了初等行变换和矩阵乘法，最后要求解原始矩阵A。 6. 矩阵的伴随矩阵和线性方程组：题目中给出的4阶矩阵A，其伴随矩阵记为A*，且已知一个非零解向量(1,0,1,0)^T是方程组 \( A \vec{x} = \vec{0} \) 的解。这涉及到矩阵的秩、零空间以及伴随矩阵的性质。 这些题目覆盖了高等数学中的重要概念，包括曲线的性质、级数的收敛性、函数极值的判定、定积分的计算、矩阵的初等变换以及线性方程组的解。对于准备考研的学生来说，这些都是必须掌握的基本技能和知识点。