《线性代数手册》：系统、向量空间与映射详解

《线性代数手册》是一本详尽的入门教材，主要涵盖线性代数的基本概念和核心理论。全书共分为五个章节，依次讲解了线性系统、向量空间、空间之间的映射、行列式以及相似性。 第一章 "线性系统" 引入了线性方程组的基础，包括实数、非负实数和多元向量的概念，如 R、R+ 和 Rn 表示一元、非负实数和 n 维向量，自然数集 N 和复数集 C 也在此部分有所介绍。学习者会接触到向量和零向量的概念，如用向量符号表示的 v 和 w，以及特定向量空间中的零向量 ⃗0 和 V 的零向量 ⃗0V。 第二章 "向量空间" 是线性代数的核心，介绍了向量空间 V、W 和 U 的定义，以及基（bases）的概念，例如标准基 En = ⟨⃗e1, ..., ⃗en⟩，用于表示 Rn 中的所有向量。基向量 ⃗β 和 ⃗δ 被用来构建向量在不同基下的表示。同时，书里还会讨论矩阵在向量空间表示中的应用，如 RepB(⃗v) 表示用基 B 来表示向量 ⃗v 的矩阵形式。 第三章 "空间之间的映射" 包括了线性变换（homomorphisms 或线性映射）和矩阵的关联。h 和 g 代表线性映射，而 H 和 G 则指代与之相关的矩阵。这里会涉及变换 t 和 s 以及它们对向量空间的影响，比如自映射 T 和 S，以及它们的矩阵表示 RepB 和 RepD(h)。 第四章 "行列式" 讲述了行列式 |T|，它是矩阵的重要特征，用于确定线性变换是否可逆以及计算特定性质。此外，该章还涵盖了范围空间 R(h)、核（nullspace）N(h)以及它们的扩展版本 R∞(h) 和 N∞(h)。 第五章 "相似性" 探讨了两个向量空间 V 和 W 之间是否存在同构（isomorphism），即 V ∼ = W，这意味着两个空间有相同的结构。这部分内容会涉及矩阵如何体现这种相似性，以及如何通过矩阵来表达线性变换的相似性。 《线性代数手册》不仅提供了扎实的理论基础，而且通过实例和清晰的解释，帮助读者逐步理解并掌握线性代数的基本概念和技术，是深入学习和研究这一领域的理想入门书籍。对于希望进一步探索线性代数、解析几何、工程问题解决或数据分析的学生和专业人士来说，这本书是不可或缺的学习资源。