北航研究生数值分析：幂法与反幂法在矩阵运算中的应用

本次作业涉及的是北航研究生的数值分析编程课程，具体主题围绕矩阵操作和数值方法展开。作业的核心内容包括： 1. 矩阵初始化：题目要求设计一种矩阵初始化方式，如带状存储结构，使得矩阵A的下半带宽为r=2，上半带宽为s=2。这种结构可以减少存储空间，提高检索特定带内元素的效率，即通过[pic]快速访问A矩阵。 2. 幂法求特征值：幂法是一种常用的求解矩阵特征值的方法。它通过迭代逼近矩阵的特征值，迭代公式为[pic]，直到满足终止条件[pic]。首先，计算矩阵A的特征向量，然后用该向量构造矩阵B，接着对B进行幂法迭代，直至找到所需的特征值和对应的特征向量。 3. 反幂法：与幂法相反，反幂法用于求解矩阵的逆幂特征值。迭代公式为[pic]，当[pic]时停止迭代。这个方法用于找到与给定数最接近的特征值，以及相应的特征向量。 4. 求解线性方程组：在求解过程中，需要使用LU分解来简化线性方程组的求解，即将矩阵分解为一个下三角矩阵L和上三角矩阵U。然后通过一系列步骤求解，包括计算中间变量、更新解向量等。 5. 特征值计算：作业还涉及计算矩阵的条件数和行列式，这涉及到特征值的代数性质，如条件数可通过最大特征值和最小特征值的比值计算，行列式则可以通过特征值的乘积得到。 6. 函数实现：提供了部分程序代码，定义了如求最小值、最大值、计算二范数、LU分解和线性方程组求解等功能的函数。例如，`PowerMethod`函数负责执行幂法迭代，`FenjieLU`函数处理LU分解，`Solve`函数则是求解线性方程组。 整个作业强调了数值分析中的核心概念和实际编程技巧，学生需要掌握矩阵操作、特征值求解算法以及相关的数值稳定性分析。完成这项作业有助于加深理解数值分析在计算机科学中的应用，并提升编程能力。