有限单元法详解：位移函数与分析过程

"位移函数-有限单元法课件" 有限单元法(Finite Element Method, FEM)是一种广泛应用的数值分析方法，特别是在结构工程和固体力学中，用于解决复杂的连续体问题，如应力分析、热传导和流体动力学等。在有限单元法中，连续的结构被离散化为一系列互不重叠的单元，每个单元都有自己的位移函数。 位移函数是有限单元法的关键组成部分，它描述了单元内任意点的位移如何由结点处的位移通过插值函数（也称为形函数）来近似表示。形函数矩阵N乘以结点位移矩阵δ，即可得到单元内任意点的位移矩阵d。形函数的选择需满足以下条件： 1. 刚体位移：位移函数应能捕捉单元的整体平动和转动，这是保证计算正确性的基本要求。 2. 常量应变：为了准确反映单元内的变形，位移函数必须能够表示单元内部的常量应变状态。 3. 连续性：位移函数应该保证位移在相邻单元间的连续性，以确保全局解的连续性和物理合理性。 在有限单元法的分析过程中，通常包括以下几个步骤： 1. 结构离散化：将结构物划分为多个单元，并对结点进行编号，这决定了计算的精度和复杂性。例如，杆件结构可以被划分为多个线性单元，而板壳结构可能需要使用四边形单元或三角形单元。 2. 确定位移模式：对于每个单元，定义位移函数，这通常基于多项式函数。位移函数的选择对计算精度至关重要，它决定了分析的准确性和计算效率。 3. 单元特性分析：通过几何方程（应变与位移的关系）和物理方程（应力与应变的关系，即胡克定律）来描述单元的行为。这涉及计算变形矩阵ε和应力矩阵σ，它们依赖于材料的弹性常数。 4. 单元刚度方程：利用虚位移原理或最小势能原理，结合单元的力和位移，建立单元刚度矩阵k和等效荷载矩阵F。 5. 整体方程组的建立：将所有单元的刚度矩阵和荷载矩阵组合成整体刚度矩阵K和整体荷载向量P，然后解这个线性系统得到所有结点的位移。 6. 程序设计与软件应用：有限元分析通常需要专门的软件实现，如通用软件ANSYS、ABAQUS和专用软件Nastran等，这些软件提供了友好的用户界面和自动化流程，简化了分析过程。 有限单元法的优势在于它的灵活性和适应性，可以处理各种复杂几何形状、边界条件和加载情况。但同时，选择合适的单元类型、位移函数和网格划分对结果的准确性有着重要影响，需要根据具体问题进行权衡和优化。