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第31卷第3期
2001年5月
东南大学学报
(自然科学版 )
JOURNAL OF SOUTHEAST UNIVERSITY (Natural Science Edition )
Vol.31 No.3
May 2001
轴测投影的基本公式及其应用
唐人卫
(东南大学交通学院 , 南京 210096 )
摘要 : 轴测投影是画法几何学的重要组成部分 ,本文用解析的方法来研究一般形式的轴测投
影问题 .根据轴测投影系统中空间坐标系、投射方向、投影面三者之间的几何关系 ,推导并证明
了轴测投影的基本公式 .基本公式作为轴测投影基本定理(
波尔克 许华尔兹定理 )的数学表达
式 ,更确切地反映了各轴测参数之间的定量关系 ,它在轴测投影的理论和应用方面都有重要的
意义 .本文在此基础上 ,整理出 5 组各类参数的计算公式 ,既适用于正轴测投影也适用于斜轴
测投影 .
关键词 : 画法几何 ;轴测投影 ;
波尔克 许华尔兹定理 ;轴测基本公式
中图分类号 : O185.1 文献标识码 : A 文章编号 :
1001 - 0505(2001 )03-0124-04
收稿 日期 : 2001-01-15 . 作者简介 : 唐人卫 ,男 ,1950 年 生 , 副研究 员 .
在画法几何学中有一个著名的定理 ,它是这样表述的 :平面上从一个点引出的任意 3 条线段 ,总可以
作为空间 3 条互相垂直的相等线段的平行投影
[1 ]
.这个定理是由几何学家波尔克(Pohlke )在 1853 年首 先
提出 ,并由另一位几何学家许华尔兹(Schwarz )在 19 世纪 60 年代给出了简要的证明 .这个定理不仅奠定了
轴测投影的理论基础 ,而且在应用方面也有着十分重要的意义 ,因此被称为轴测投影的基本定理 .
基本定理告诉我们 :投影平面上轴测轴的各种位置(即轴间角 )和轴测单位的各种长度(即轴向伸缩系
数 )是与空间坐标轴的各种位置和投射方向相对应的 .当任意选定了轴向伸缩系数的比值和轴间角以后 ,
总能求出空间坐标轴的位置和相应的投射方向 ,基本定理定性地描述了轴测投影中各参数之间的互相关
系 .那么各轴测参数之间的定量关系怎样呢 ? 本文在此推导并证明轴测投影的基本公式 .此公式为
(pqsin∠ x′o′y′)
2
+(qrsin∠ y′o′z′)
2
+(rpsin∠ z′o′x′)
2
= p
2
+ q
2
+ r
2
-1 (1)
式中 ,p ,q ,r 为轴向伸缩系数 ;∠ x′o′y′,∠ y′o′z′,∠ z′o′x′为轴间角 .
1 预备公式的推导
为了推证基本公式 ,我们首先证明 2 个预备公式 .
图 1 轴测投影系统的空间几何关系
1.1 预备公式 1
[2 ]
p
2
+ q
2
+ r
2
=2+cot
2
φ(2)
证 空间直角坐标系 oxyz 在投影平面π
′
上的平行投影为
o′x′y′z′,即轴测坐标系 ; oo′为投射方向 ,它与 π
′
的夹角为φ,
oo′的方向角为α,β,γ; oo
1
垂直于 π
′
,oo
1
的方向角为 α
1
,β
1
,
γ
1
,如 图 1 所 示 .
由△oo′x′有
o′x′
2
= oo′
2
+ ox′
2
-2oo′· ox′·cosα
由△oo
1
o′和 △ oo
1
x′有
oo′= ox′
cosα
1
sinφ
代入上式 ,
得