p-Laplace方程组正解的存在唯一性：上下解方法证明

"这篇论文是2009年由祁瑞改和杨国英撰写，发表在《杭州师范大学学报（自然科学版）》上，属于自然科学领域的研究，主要探讨了p-Laplace方程组正解的存在唯一性问题，涉及上下解方法和弱比较原理的应用。" 文章深入研究了一类具有Dirichlet边界条件的p-Laplacian方程组，这个方程组具有两个未知函数u和v，其形式如下： \[ -\Delta_p u = a(x)|u|^{p-2}u - c(x)|u|^{\alpha-1}|v|^{\beta+1}, \quad x \in \Omega, \] \[ -\Delta_q v = b(x)|v|^{q-2}v - c(x)|u|^{\alpha+1}|v|^{\beta-1}, \quad x \in \Omega, \] 加上边界条件： \[ u|_{\partial \Omega} = v|_{\partial \Omega} = 0, \] 其中，$\Delta_p$是p-Laplacian算子，p和q大于1，α和β为实数，a(x)，b(x)和c(x)是给定的函数。p-Laplacian方程在偏微分方程领域有广泛应用，通常涉及到非线性扩散和弹性等问题。 作者采用了上下解方法和弱比较原理来分析这个方程组。上下解方法是一种构造解的技巧，通过找到一对解的上界和下界来证明解的存在性。弱比较原理则用于比较解的大小，它是分析非线性问题的重要工具。通过这些方法，他们不仅证明了解的存在性，还进一步讨论了解的唯一性。 文献引用了之前的研究，指出p-Laplacian算子相关的方程已经过广泛研究，但针对方程组的研究相对较少。以往的研究通常利用爆破方法、纤维方法和山路定理等来探究解的存在性和不存在性。然而，这篇论文专注于上下解和单调性方法，这为p-Laplace方程组正解的存在唯一性提供了新的见解，并扩展了单个p-Laplace方程的结果。 总结来说，该研究贡献在于为p-Laplace方程组提供了一个新的分析框架，特别是利用上下解方法和弱比较原理，揭示了解的存在性和唯一性的条件，这对理解和解决更复杂的非线性偏微分方程组问题具有重要意义。