时间序列模型平稳性判定：AR, MA, ARMA模型

"3-3：时间序列模型平稳性的判定.pdf" 在时间序列分析中，平稳性是一个关键概念，因为它直接影响到模型的预测能力和解释能力。时间序列模型的平稳性是指，序列的统计特性（如均值、方差和自相关函数）不随时间改变。在本节内容中，主要探讨了三种常见的时间序列模型——AR（自回归模型）、MA（移动平均模型）以及ARMA（自回归移动平均模型）的平稳性条件和判定方法。 1. **AR模型（自回归模型）** AR模型是基于过去值来预测当前值的模型，形式为：\( x_t = c + \phi_1 x_{t-1} + \phi_2 x_{t-2} + ... + \phi_p x_{t-p} + \varepsilon_t \)，其中\(\phi_i\)是自回归系数，\(\varepsilon_t\)是误差项。AR模型的平稳性通常要求所有自回归系数的绝对值小于1，且误差项\(\varepsilon_t\)是零均值、同方差且与过去的观测值不相关的白噪声序列。 2. **MA模型（移动平均模型）** MA模型则是基于过去误差项来预测当前值，如：\( x_t = c + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + ... + \theta_q \varepsilon_{t-q} + \varepsilon_t \)，其中\(\theta_i\)是移动平均系数。对于MA模型，平稳性条件通常要求所有的\(\theta_i\)为实数且误差项\(\varepsilon_t\)满足上述白噪声序列的性质。 3. **ARMA模型（自回归移动平均模型）** ARMA模型是AR和MA模型的结合，它同时考虑了过去值和过去误差项的影响。ARMA(p,q)模型的表达式为：\( x_t = c + \phi_1 x_{t-1} + ... + \phi_p x_{t-p} + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + ... + \theta_q \varepsilon_{t-q} + \varepsilon_t \)。ARMA模型的平稳性要求AR部分和MA部分各自满足其平稳性条件，并且误差项\(\varepsilon_t\)仍是白噪声序列。 **模型平稳性的判定方法** - **时序图和自相关图方法**：生成模型序列后，通过绘制时序图观察序列是否有趋势，以及绘制自相关图查看滞后自相关系数是否迅速衰减至零。如果这两者都满足平稳性特征，可以初步认为模型是平稳的。 - **平稳域判别法**：通过对模型参数的限制，确定一组使模型平稳的参数范围，即平稳域。如果模型参数落在这个范围内，模型被认为是平稳的。 - **单位根判别法**：例如ADF（Augmented Dickey-Fuller）检验和KPSS（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin）检验，可以直接测试序列是否存在单位根，从而判断序列是否平稳。若序列无单位根，则为平稳序列，反之则非平稳。 在实际应用中，模型的平稳性判别是建立有效模型的前提，因为非平稳序列往往需要通过差分或其他预处理步骤转化为平稳序列，以便于进行建模和预测。时序图和自相关图虽然直观，但易受主观因素影响；而平稳域和单位根检验提供了更严格的数学依据，可以避免这种主观性。因此，在模型选择和验证过程中，通常会结合多种方法综合判断时间序列模型的平稳性。